一類具有n種副索賠的時間相依風險模型的破產研究

【摘 要】本文研究了一類均具有n種副索賠的風險模型。主索賠到達時刻滿足Erlang（2）分布，主索賠的發生一定引起n種副索賠中的一種，副索賠有可能與主索賠同時也發生，也有可能延遲發生。通過引入輔助模型，得到了生存概率滿足的一組微分積分方程，并在主副索賠滿足相同的指數分布條件下，得到了生存概率滿足的微分方程與副索賠個數無關的結論。

【關鍵詞】主索賠；副索賠；輔助模型；Erlang（2）分布；生存概率

1.引言

瑞典精算師Filip Lundberg（1903）開創了破產理論研究的先河，并在其論文中提出了Poisson過程。其后，Harald Cramér（1930，1945）將Lundberg的研究成果進行了嚴格數學化，建立了廣為人知的破產理論經典模型即為L-C模型。

經典風險模型假設風險過程為平穩獨立增量過程，但是在實際中，各個索賠之間往往是有著各種相依關系，從Waters和Papatriandafylou（1985）的研究開始，越來越多的學者開始研究此類的風險模型。謝杰華，鄒娓（2008）則研究了具有延遲索賠的連續風險模型，運用拉普拉斯變換等方法最終得到了破產概率表達式。Zou和Xie（2010）則考慮了滿足Erlang（2）分布條件下的破產問題。

迄今為止，大多數破產理論的研究都是不考慮副索賠或者是只引起一類副索賠，但在現實中，主索賠不一定只引起一類副索賠。趙明清，張偉（2011）研究了具有雙副索賠的相依風險模型破產問題。本文在文獻[5]和[6]的基礎上，研究了一類可能引起n種副索賠的風險模型。

2.模型的刻畫及一組微分積分方程

本章考慮了一類具有個副索賠的風險模型，主副索賠均為正的獨立同分布隨機變量，分別記為，滿足的分布函數分別記為，均值分別記為：。定義主索賠發生的時間間隔為滿足Erlang（2）分布，即，發生主索賠的次數記為。在時刻發生的主索賠以概率引起副索賠的發生，副索賠以概率在時刻時刻發生，以概率延遲到下一時刻發生，盈余過程以來表示，故有：

其中，表示初始盈余，表示保險公司單位時間內收到的保費率，表示第類副索賠在之間的總索賠額。定義生存概率為，那么破產概率為，。另外為了保證保險公司的正常運作，需要滿足安全負荷條件：

保持其它條件不變，對模型（2.1）做細小的變化，建立個輔助模型。即在第一次發生主索賠的時刻，有另外一個副索賠發生，記該副索賠為和副索賠具有相同的分布函數。輔助模型可以表示為：

這n個輔助模型對應的生存概率分別記為。

定理2.1 對于任意的滿足如下一組微分積分方程：

證明：分析可在時可能發生的索賠，有以下情況發生：

（1）主索賠發生，同時引起了副索賠的發生，以概率在時刻發生；

（2）主索賠發生，同時引起了副索賠的發生，以概率延遲到下一時刻發生；

（3）主索賠發生，同時引起了副索賠的發生，以概率在時刻發生；

（4）主索賠發生，同時引起了副索賠的發生，以概率延遲到下一時刻發生；

……

（2n-1）主索賠發生，同時引起了副索賠的發生，以概率在時刻發生；

（2n）主索賠發生，同時引起了副索賠的發生，以概率延遲到下一時刻發生。

根據全概率公式有：

3.生存概率

定理3.1 在一類具有個副索賠的風險模型中，若主索賠的到達時刻服從Erlang（2）分布，時刻發生的主索賠以概率引起副索賠的發生，副索賠均以概率延遲到下一時刻發生，以概率在時刻時刻發生。在主副索賠滿足相同指數分布的條件之下，生存概率的所滿足的微分方程的表達式與副索賠個數無關。

證明：當索賠額服從相同的指數分布的時候，即：

即生存概率滿足的微分方程與副索賠個數無關，證畢！

4.結論

今為止，大多數的對于破產理論的研究都是沒有考慮副索賠或者是只考慮了一類副索賠，然而在現實中則不一定只有一種副索賠。本文致力于此類研究，創新點在于將副索賠的個數推廣到了n個，對當主索賠到達時刻滿足Erlang（2）分布的風險模型進行了破產研究。

當然本文還存在改進和擴展的空間，例如當n種副索賠中的兩種，三種等和主索賠在同一時刻發生，或者是當主副索賠滿足不同分布的時候的破產概率的研究等。關于此類的研究是具有現實意義的，其相關的理論和問題的研究，也是今后破產理論研究所面臨的新的挑戰。

參考文獻：

[1]Lundberg F.I.，Approximerad Framstallning av Sannolikhetsfunktionen.II，Atersforsakring av Kollektrivirisker. Uppsala：Almqvist & Wiksell，1903.

[2]Cramer H.，On the Mathematical Theory of Risk.Stoockholm：Skandia Jubilee Volume，1930.

[3]Cramer H.，Mathematical Methods of Statistics.Princeton：Stockholm and Priceton Univ.Press，Almqvist & Wiksell，1945.

[4]Waters H.R.，Papatriandafylou A.，Ruin Probabilities Allowing for Delay in Claims Settlement.Insurance： Mathematics and Economics，1985，4：113-122.

[5]謝杰華，鄒娓.一類具有時間相依索賠風險模型的破產概率[J].中國科學院研究生院學報，2008，25（3）：313-319.

[6]Zou W.，Xie J.H.，On the Ruin Problem in an Erlang（2）Risk Model with Delayed Claims[C].CCIS 105，2010，54-61.

[7]趙明清，張偉.具有兩種副索賠的離散相依風險模型破產問題[J].經濟數學，2011，2.