高中數列中的“整解”問題例析

近幾年來，數列的命題呈現這樣一個特點:基于等差數列、等比數列，用抽取或疊加的方式產生“子數列”，考查推理論證能力．試題難度都比較大，不少都涉及初等數論知識．本文就數列中“整解”問題略舉幾例，與大家共同歸納總結，以期尋求到解決此類問題的鑰匙．

一、從整數的整除性探究存在性

例1 （2009江蘇高考）設{an}是公差不為零的等差數列，Sn為其前n項和，滿足a22+a因此，2n-1-m+1≠0,①式可化為b=2+t2n-1+m+1,

由于2n-1-m+1可取到一切正整數，且b≥3，故要至少有三個b,使得am+t=bn(t∈N)成立，

必須使整數2+t至少有三個大于或等于3的不同的因數，故滿足條件的最小整數為12，即t的最小值為10，此時b=3,4,6或12.

點評:要探究b的存在性，需要先將b表達出來．

例３ 已知數列{cn}的通項公式是cn=nn+2011，對于任意給定的正整數k,

是否存p,q∈N*在使得ck=cp•cq?

若存在，求出p,q的值（只要求寫出一組即可）;若不存在，說明理由．

解析:假設存在p,q，滿足ck=cp•cq,則

kk+2011=pp+2011•qq+2011

，取倒數,得k+2011k=p+2011p•q+2011q

即1+2011k=1+2011p+2011q+2011×2011pq

整理，得q=k(p+2011)p-k

取p=k+1,則q=k(k+2012).

（也可以取p=2k,q=2k+2011.）

點評:（1）要探究的p,q存在性，需要先將p或q表達出來;（2）本題中k是“給定的”，作為已知常數，而不能理解為關于k的恒等式．

即存在ｍ＝２，ｎ＝１２時，a1,am,an成等比數列．

可以看出，數列中的“整解”問題，通常圍繞數列通項與求和問題展開，利用初等數論知識探究存在性．常從等式兩邊的符號，奇偶性角度尋找矛盾來否定存在性，或從約數和倍數的角度進行合理的因數分解或因式分解，構造等量關系來肯定存在性．有時需要我們綜合多種途徑解決問題．最后讓我們一起來賞析這樣一例．

例7 下述數陣稱為“森德拉姆篩”，記為S．其特點是每行每列都是等差數列，第i行第j列的數記為Aij．

1 4 7 10 13 …

4 8 12 16 20 …

7 12 17 22 27 …

10 16 22 28 34 …

13 20 27 34 41 …

… … … … … …

（1）證明:存在常數C∈N*,對任意的正整數i,j,Aij+C總是合數;

（2）設S中主對角線上的數1，8，17，28，41，…組成數列{bn}．

試證:不存在正整數k和m（1＜k＜m），使得b1,bk,bm成等比數列;

（3）對于（2）中的數列{bn}，是否存在正整數p和r （1＜r＜p＜150），使得b1,br,bp成等差數列．

若存在，寫出p，r的一組解（不必寫出推理過程）;若不存在，請說明理由．

解析:（1）因為第一行數組成的數列{A1j}（j=1,2,3,…）是以1為首項，公差為3的等差數列，所以A1j=1+(j-1)×3=3j-2,

第二行數組成的數列{A2j}（j=1,2,3,…）是以4為首項，公差為4的等差數列，

所以A2j=4+(j-1)×4=4j

所以A2j-A1j=4j-(3j-2)=j+2,

所以第j列數組成的數列{Aij}（i=1,2,3,…）是以3j-2為首項，公差為j+2的等差數列，

所以Aij=3j-2+(i-1)×(j+2)

=ij+2i+2j-4

=(i+2)(j+2)-8

故Aij+8=(i+2)(j+2)是合數．

所以當C=8時，對任意正整數i,j,Aij+C總是合數．

（2）（反證法）假設存在k、m，1＜k＜m，使得b1,bk,bm成等比數列，即b2k=b1bm

∵bn=Ann=(n+2)2-8,

∴1×［(m+2)2-8］=［(k+2)2-8］2,

得(m+2)2-［(k+2)2-8］2=8,

即［(m+2)+(k+2)2-8］［(m+2)-(k+2)2+8］=8,

又∵1＜k＜m，且k,m∈N*

∴k≥2,m≥3,

進而(m+2)+(k+2)2-8≥5+16-8=13,

∴(m+2)-(k+2)2+8∈(0,1),

這與(m+2)-(k+2)2+8∈Z矛盾，

所以不存在正整數k和m(1

使得b1,bk,bm成等比數列．

（3）假設存在滿足條件的p,r,那么2(r2+4r-4)=1+(p2+4p-4)

即2(r+5)(r-1)=(p+5)(p-1)

不妨令r+5=p-12(r-1)=p+5,

解得r=13p=19.

所以存在r=13,p=19,

使得b1,br,bp成等差數列.

點評:第（3）問中數組（r,p）不唯一，例如(85,121)也可以.

第（１）（３）兩問從因數分解角度進行求解，第（２）小題從縮小范圍角度進行求解．

（作者：譚愛平，江蘇省泰興市第三高級中學)

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(上接第25頁)

②第一步：計算BM．由正弦定理

BM=dsinα1sin(α1+α2)；

第二步：計算BN．由正弦定理BN=dsinβ1sin(β2－β1)；

MN=BM2+BN2+2BM×BNcos(β2+α2)．

點評：本題主要考查解三角形問題，主要涉及了正弦定理和余弦定理的應用．方案設計題屬于應用性開放型問題, 因為它貼近生活,具有較強的操作性和實踐性，解決此類問題時要慎于思考,并能在實踐中對所有可能的方案進行羅列與分析,得出符合要求的一種或幾種方案.

三、結論開放

例3 （2012屆?？诟呷M）已知在△ABC中，角A，B，C的對邊的邊長分別為a，b，c，且3acosC=(2b－3c)cosA．

（Ⅰ）求角A的大??；

（Ⅱ）現給出三個條件：①a=2；②B=π4；③c=3b．

試從中選出兩個可以確定△ABC的條件，寫出你的選擇，并以此為依據求出△ABC的面積．（只需寫出一個選定方案即可，選多種方案以第一種方案記分）

解：（1）由正弦定理可得：

3sinAcosC=2sinBcosA－3sinCcosA,即3sin(A+C)=2sinBcosA

3sinB=2sinBcosA,

∵sinB≠0，

∴cosA=32,

∵A∈(0,π),∴A=π6

（Ⅱ）方案一：選擇①②

由asinA=bsinB，

得b=2×sinπ4sinπ6=22,

sinC=sin(A+B)=2+64

∴S=12absinC

=12×2×22×2+64

=3+1

方案二：選擇①③

由余弦定理得，

b2+c2-2bccosA=a2，

有b2+3b2-3b2=4，

解得b=2,c=23

S=12bcsinA

=12×2×23×12=3

說明：若選擇②③，

由c=3b,

得sinC=3sinB

=62>1,

不成立，這樣的三角形不存在．

點評：條件或結論開放性問題，應發散自己的思維，結合所學的知識點進行分析，從而可尋找出所要補的條件和能得出的結論.