淺談數學教學中如何恢復和提高學生的火熱思考

數學的表現形式比較枯燥，常給人冰冷的感覺，但是數學思考卻是火熱生動活潑的。如何點燃和激起學生的火熱思考，并使學生欣賞數學冰冷的美麗，實在是數學教育的一項根本任務。

一、揭示數學的內在聯結，恢復學生的火熱思考

數學是一種知識體系，通過概念的分析、生成和組織，形成和諧的整體。因此，數學的教育形態之一就是把教科書線性排列的知識“打亂”，同時融合不同學科的相關知識，由內在聯結串起來，建立網絡。這樣，學生的火熱思考就在于凸現思維網絡的“結點”，在紛繁復雜的干擾中尋找本質的、感性的信息，從而使教學達到對數學內在本質的認識。如何認識、組織和設計數學聯結點，形成學生火熱的“聯結性”思考呢？

中學代數的本質是不定元和數字之間的四則運算，特別是分配律的運算。分配律是唯一把加法和乘法聯系在一起的運算規律，小學里的“湊十法”“去括號”都與此有關。中學課程的數學運算，如合并同類項、因式分解、配方等知識，基本連接點就是分配律。因此在提取公因式的教學中應恢復學生關于分配律的火熱思考，使分配律思想在不同的，或許是相互沒有聯系的情境中應用。

三角函數的教學，從靜態的正弦定理、余弦定理到動態的周期變化、潮水漲落、彈簧、波的振動以及在軸上均勻旋轉的輪子邊緣上熒光點的運動等現象，把代數式、三角形、單位圓、投影、波、周期等離散的領域聯系在一起。正是三角函數使它們形成有機整體，同時它們也是三角函數在不同側面的反映。因此三角函數教學應通過再創造恢復學生火熱的思考，使之返璞歸真。讓三角函數豐滿起來，才能把教科書上定義——公式——圖像——性質——應用這種冰冷的美麗變成學生豐富的聯想，使學生在某一孤立領域學習的主題遷移到另一領域。

余弦定理是代數式與三角形的聯結點。如證明如下題目，用余弦定理觀察代數式就是關鍵，是學生火熱思考的來源。

已知x＞0，y＞0，z＞0，求證：

再如：

設x，y為實數且滿足關系式

(x-1)3+1997(x-1)=1(1-y)3+1997(1-y)=1

則x+y=（）。

通過對題設的觀察，構造出函數：f(x)=t3+1997t，是奇函數，且在（-1，1）上是單調增函數。

又由已知：

f(x-1)=f(1-y)，所以x-1=1-y，由此得x+y=2。

能否構造出上述函數是學生的思考是否火熱的檢驗。在解題教學中，引導學生尋找恰當的切入點，以跨越關鍵是實現由知識向能力轉化的前提。

綜上所述，返璞歸真，尋求數學的本原，找到數學知識網的結點，就能綱舉目張，以一當百。中學數學解題，看起來由頭到尾寫了很多步，說到底不過是一個技巧、一個想法而已?；馃岬乃伎纪辉谝恍╆P節點上發生，其余的都是常規。華羅庚先生說過，讀書要把書讀到越來越薄才好，也是說要在關節點上進行火熱的思考，抓住關鍵，提綱挈領，一本書就成了不多的一點東西。

二、掌握數學思想方法，提高學生的火熱思考

像一切科學一樣，數學也是一門由特定的思想方法組成的學問。數學不等于邏輯，數學遠遠多于邏輯，形式化不是數學的起源，也不是最終的目標。掌握數學思想方法，認識客觀世界的數量變化規律，并用于認識世界和改造世界，才是數學科學的真諦。因此，通過數學學習使學生理解數學的價值，經受思想方法的訓練，是提高學生的火熱思考的重要一環。

第一，需要宏觀把握數學思想方法。數學的特征是什么?數學方法有哪些特點?與其他科學方法有什么不同?我們應當用各種方法使學生體驗數學思想的威力，以受到心靈上的震撼。

例如，幾何學的第一個定理：對頂角相等。量一量、看一看就得到結論，學生也不會提出疑義。但是，數學教學不能停留在這一點上。教師應當在這里介紹古希臘學者的深邃思考，把它歸于更原始的公理：等量減等量仍為等量。接受對頂角相等的結論并非難事，認識到此事需要證明才是數學教學的目標。同樣，學習等腰三角形底角相等的結論也是如此。有證明的必要，才有學習數學的沖動。

第二，要善于使用“平臺”方法。到了19世紀，一方面數學因實際需要的刺激而大力發展應用數學，另一方面，則向人類思維能力的深度進軍，非歐幾何、四元數、群論、分析學的嚴密化等思辨性數學發展迅速。其中和中學密切相關的內容有皮亞諾的自然數公理、戴德金的實數公理、希爾伯特的幾何公理體系等，這些，以前都作為師范大學數學系的必修課。其實，在中學這些都可以作為平臺使用，我們不必知道它們的具體內容，只要知道它的價值，然后“大膽地往前走”就是了。打個比方，我們都了解并會使用WINDOWS、幾何畫板等軟件平臺，但無須知道它們的內部結構、不必懂得它們是如何做出來的。

會用“平臺”是一種數學教學方法。其實，面積也是“平臺”，我們從未定義過面積，卻一直在使用。實數系和數軸上的點一一對應，大家也默認這一“平臺”(線段的可公度理論相當煩瑣)。有人建議，瞬時速度是否可以作為“平臺”接受下來，而對數的首數和尾數、開平方、三角恒等變換，乃至二次曲線等問題，是否都該問問它們的出發點在哪里?這些都是火熱的數學思考的一部分，是從數學知識的教育形態出發應該思考的問題。

第三，數學建模方法。這是數學基本方法之一，徐利治先生早有論述，可惜我們通?？吹降臄祵W思想方法，只是“化歸”一種類型，把建模方法排除在外。這樣做的結果便是高考中的數學應用題的得分率始終提不高。實際上，數學教學要恢復火熱的思考，數學建模思想方法是必須抓住的一環。

數學形式化是數學學習的重要組成部分，冰冷的形式化依然是美麗的。我們主張火熱的思考，正是為了能夠欣賞這種美麗。

（通渭縣第二中學）