第六章,實數（基礎卷）（解析版）

　 第 六 章

　實數 （ 基礎卷 ）

　姓名：__________________

　 班級：______________

　 得分：_________________ 注意事項：

　本試卷滿分 100 分，考試時間 90 分鐘，試題共 23 題．答卷前，考生務必用 0.5 毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置．

　一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 2 分，共 24 分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

　1.下列各組有理數的大小比較中，正確的是（

?。?/p>

　A．﹣（﹣1）＜﹣（+2）

　B．﹣|﹣3|＞﹣（﹣2）

　C．﹣π＜﹣3.14 D．﹣（﹣0.3）＜﹣|﹣ |

　【答案】C

　【分析】利用實數比較大小的法則進行比較即可． 【解答】解：A、﹣（﹣1）＝1，﹣（+2）＝﹣2， ∵1＞﹣2， ∴﹣（﹣1）＞﹣（+2），故原題錯誤； B、﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣2）＝2， ∵﹣3＜2， ∴﹣|﹣3|＜﹣（﹣2），故原題錯誤； C、∵|﹣π|＝π，|﹣3.14|＝3.14， ∴π＞3.14， ∴﹣π＜﹣3.14，故原題正確； D、﹣（﹣0.3）＝0.3，﹣|﹣ |＝﹣ ， ∵0.3＞﹣ ， ∴﹣（﹣0.3）＞﹣|﹣ |，故原題錯誤； 故選：C． 【知識點】實數大小比較、相反數、絕對值

　 2.在實數﹣ ，﹣3.14，0，π， 中，無理數有（

?。?/p>

　A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個

　【答案】B

　【分析】分別根據無理數、有理數的定義即可判定選擇項． 【解答】解：﹣3.14 是有限小數，屬于有理數； 0 是整數，屬于有理數；

　 ，是整數，屬于有理數； 無理數有 ，π 共 2 個． 故選：B． 【知識點】算術平方根、立方根、無理數

　 3.實數 a、b、c 在數軸上的位置如圖所示，則代數式|c﹣a|﹣|a+b|的值等于（

?。?/p>

　A．c+b B．b﹣c C．c﹣2a+b D．c﹣2a﹣b

　【答案】A

　【分析】根據數軸得到 b＜a＜0＜c，根據有理數的加法法則，減法法則得到 c﹣a＞0，a+b＜0，根據絕對值的性質化簡計算． 【解答】解：由數軸可知，b＜a＜0＜c， ∴c﹣a＞0，a+b＜0， 則|c﹣a|﹣|a+b|＝c﹣a+a+b＝c+b， 故選：A． 【知識點】實數與數軸、絕對值

　 4.已知 x 為實數，且 ＝0，則 x 2 +x﹣3 的平方根為（

?。?/p>

　A．3 B．﹣3 C．3 和﹣3 D．2 和﹣2

　【答案】C

　【分析】根據立方根和已知得出 x﹣3＝2x+1，求出 x，再求出 x 2 +x﹣3＝9，再根據平方根的定義求出即可． 【解答】解：∵x 為實數，且 ＝0， ∴x﹣3＝2x+1， 解得：x＝﹣4， ∴x 2 +x﹣3＝16﹣4﹣3＝9， ∴ ＝±3， 故選：C． 【知識點】平方根、立方根

　 5.若（m﹣1）

　2 + ＝0，則 m﹣n 的值是（

?。?/p>

　A．﹣1 B．1 C．2 D．3

　【答案】D

　【分析】首先根據非負數的性質求出 m、n 的值，然后再代值求解． 【解答】解：由題意，得：m﹣1＝0，n+2＝0， 即 m＝1，n＝﹣2；

　 所以 m﹣n＝1﹣（﹣2）＝1+2＝3． 故選：D． 【知識點】非負數的性質：偶次方、非負數的性質：算術平方根

　 6.已知 ≈4.858， ≈1.536，則﹣ ≈（

?。?/p>

　A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536

　【答案】A

　【分析】根據二次根式的被開方數與算術平方根的關系即可直接求解． 【解答】解：236000 是由 23.6 小數點向右移動 4 位得到，則﹣ ＝﹣485.8； 故選：A． 【知識點】算術平方根

　 7.有一個數值轉換器，原理如下：當輸入的 x 為 16 時，輸出的 y 是（

?。?/p>

　A．

　B．

　C．4 D．8

　【答案】A

　【分析】把 x＝16 代入數值轉換器中計算確定出 y 即可． 【解答】解：由題中所給的程序可知：把 16 取算術平方根，結果為 4， 因為 4 是有理數，所以把 4 取算術平方根，結果為 2， 因為 2 是有理數，所以把 2 取算術平方根，結果為 ， 因為結果 為無理數， 所以 y＝ ． 故選：A． 【知識點】算術平方根

　 8.若規定，f（x）表示最接近 x 的整數（x≠n+0.5，n 整數）例如：f（0.7）＝1，f（2.3）＝2，f（5）＝5，則 f（1）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）的值（

?。?/p>

　A．16 B．17 C．18 D．19

　【答案】D

　【分析】根據 f（x）表示的意義，分別求出 f（1），f（ ），f（ ），…f（ ）的值，再計算結果即可． 【解答】解：f（x）表示的意義可得，f（1）＝1，f（ ）＝1，f（ ）＝2，f（ ）＝2， f（ ）＝2，f（ ）＝2，f（ ）＝3，f（ ）＝3，f（ ）＝3， ∴f（1）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）＝1+1+2+2+2+2+3+3+3＝19， 故選：D． 【知識點】算術平方根、規律型：數字的變化類

　 9.如圖，Rt△OAB 的直角邊 OA＝2，AB＝1，OA 在數軸上，在 OB 上截取 BC＝BA，以原點 O 為圓心，OC為半徑畫弧，交數軸于點 P，則 OP 的中點 D 對應的實數是（

?。?/p>

　A．

　B．

　C． ﹣1 D． ﹣1

　【答案】A

　【分析】根據勾股定理求出 OB，求出 BC＝AB＝1，求出 OC＝OP＝ ﹣1，再根據線段的中點定義求出OD 即可． 【解答】解：在 Rt△OAB 中，∠OAB＝90°，AB＝1，OA＝2，由勾股定理得：OB＝ ＝ ， ∵BC＝AB，AB＝1， ∴BC＝1， ∴OC＝OB﹣BC＝ ﹣1， 即 OP＝ ﹣1， ∵OP 的中點是 D， ∴OD＝ OP＝ ×（ ﹣1）＝ ， 即點 D 表示的數是 ， 故選：A． 【知識點】勾股定理、實數與數軸、黃金分割

　 10.若 3a﹣22 和 2a﹣3 是實數 m 的平方根，且 t＝ ，則不等式 ﹣ ≥ 的解集為（

?。?/p>

　A．x≥

　B．x≤

　C．x≥

　D．x≤

　 【答案】B

　【分析】先根據平方根求出 a 的值，再求出 m，求出 t，再把 t 的值代入不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：∵3a﹣22 和 2a﹣3 是實數 m 的平方根， ∴3a﹣22+2a﹣3＝0， 解得：a＝5， 3a﹣22＝﹣7， 所以 m＝49， t＝ ＝7， ∵ ﹣ ≥ ，

　 ∴ ﹣ ≥ ， 解得：x≤ ， 故選：B． 【知識點】解一元一次不等式、平方根

　 11.已知數 a，b，c 的大小關系如圖，下列說法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③ ；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若 x 為數軸上任意一點，則|x﹣b|+|x﹣a|的最小值為 a﹣b．其中正確結論的個數是（

?。?/p>

　A．1 B．2 C．3 D．4

　【答案】B

　【分析】首先判斷出 b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根據有理數的大小比較法則，絕對值的性質等知識一一判斷即可． 【解答】解：由題意 b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，則 ①ab+ac＞0，故原結論正確； ②﹣a﹣b+c＞0，故原結論錯誤； ③ + + ＝1﹣1+1＝1，故原結論錯誤； ④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原結論錯誤； ⑤當 b≤x≤a 時，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值為 a﹣b，故原結論正確． 故正確結論有 2 個． 故選：B．

　【知識點】實數大小比較、絕對值、數軸

　 12.下列說法中正確的有（

?。?/p>

?、傧嗟鹊慕鞘菍斀?； ②有公共頂點和一條公共邊，且和為 180°的兩個角互為鄰補角； ③過一點有且只有一條直線與已知直線垂直； ④直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離； ⑤如圖，∠1 和∠2 是內錯角； ⑥無理數都可以表示在數軸上，反過來數軸上的點都表示無理數．

　A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個

　【答案】A

　【分析】逐個選項進行判斷，最后得出答案． 【解答】解：相等的角不一定是對頂角，對頂角是一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，因此①不正確； 有公共頂點和一條公共邊，且構成平角的兩個角互為鄰補角；因此②不正確； 平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；因此③不正確； 垂線段的長度，才叫點到直線的距離，因此④不正確； 圖中∠1 和∠2 不是內錯角，因此⑤不正確； 無理數都可以表示在數軸上，但反過來數軸上的點都表示無理數．就不正確，因此⑥不正確； 綜上所述，正確的個數為 0 個， 故選：A． 【知識點】同位角、內錯角、同旁內角、對頂角、鄰補角、無理數、點到直線的距離、垂線、實數與數軸

　二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 2 分，共 8 分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）

　13.計算：（﹣1）

　2018 ﹣（π﹣3.14）

　0 +（ ）﹣ 2 ＝

?。?/p>

　【答案】4

　【分析】首先計算乘方、零指數冪、負整數指數冪，然后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（﹣1）

　2018 ﹣（π﹣3.14）

　0 +（ ）﹣ 2

?。?﹣1+4 ＝4． 故答案為：4． 【知識點】實數的運算、負整數指數冪、零指數冪

　 14.對于任意兩個實數 a、b，定義運算“☆”為：a☆b＝ ．如 3☆2＝ ，根據定義可得 4☆8＝

?。?/p>

　 【分析】直接利用新定義代入計算得出答案． 【解答】解：4☆8＝ ＝2 ．

　 故答案為：2 ． 【知識點】實數的運算

　 15.對于實數 x，規定[x]表示不大于 x 的最大整數，如[4]＝4，[ ]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，現對 82 進行如下操作：82 [ ]＝9 [ ]＝3 [ ]＝1，這樣對 82 只需進行 3 次操作后變為 1，類似地，按照以上操作，只需進行 3 次操作后變為 2 的所有正整數中，最大的正整數是

?。?/p>

　【答案】6560

　【分析】逆向思考，先求出第 3 次參與運算的最大數，再求出第 2 次參與運算的最大數，最后求出第 1 次參與運算的最大數即可． 【解答】解：∵最后的結果為 2， ∴第 3 次參與運算的最大數為（2+1）

　2 ﹣1＝8，即[ ]＝2， ∴第 2 次的結果為 8， ∴第 2 次參與運算的最大數為（8+1）

　2 ﹣1＝80，即[ ]＝8， ∴第 1 次的結果為 80， ∴第 1 次參與運算的最大數為（80+1）

　2 ﹣1＝6560，即[ ]＝80， 也就是，

　故答案為：6560． 【知識點】估算無理數的大小

　 16.如果有一種新的運算定義為：“T（a，b）＝ ，其中 a、b 為實數，且 a+b≠0”，比如：T（4，3）＝ ，解關于 m 的不等式組 ，則 m 的取值范圍是

?。?/p>

　【答案】2.1≤m＜6

　【分析】轉化成不等式組，先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可． 【解答】解：∵ ， ∴

　∵解不等式①得：m≥2.1， 解不等式②得：m＜6， ∴不等式組的解集為 2.1≤m＜6， ∵m+6﹣m≠0，2m+3﹣2m≠0， ∴2.1≤m＜6，

　 故答案為：2.1≤m＜6． 【知識點】解一元一次不等式組、實數的運算

　共 三、解答題（本大題共 7 小題，共 68 分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

　17.計算：

?。?）

　+|1﹣ |； （2）

?。?/p>

　【分析】（1）直接利用立方根的性質以及絕對值的性質、二次根式的性質分別化簡得出答案； （2）直接利用二次根式的性質化簡，進而計算得出答案． 【解答】解：（1）原式＝3﹣2+ ﹣1 ＝ ；

?。?）原式＝ ﹣3

?。?﹣3

?。? ﹣3

?。?． 【知識點】實數的運算

　 18.已知正數 x 的兩個不同的平方根分別是 a+3 和 2a﹣15，y 的立方根是﹣1． 求（1）a 的值； （2）x﹣2y+1 的值．

　【分析】（1）依據一個正數有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數，即可求出 x 的值； （2）再根據立方根的定義，即可得到 y 的值，進而確定出 x﹣2y+1 的值． 【解答】解：（1）∵正數 x 的兩個不同的平方根分別是 a+3 和 2a﹣15， ∴a+3+2a﹣15＝0， 解得：a＝4； （2）由題可得，x＝（a+3）

　2 ＝49，y＝（﹣1）

　3 ＝﹣1， ∴x﹣2y+1＝49+2+1＝52． 【知識點】平方根、立方根

　 19.數 a，b，c 在數軸上的位置如圖所示：

?。?）用“＞”或“＜”填空：

　a

　0，b

　0，c

　0，a+c

　0，b﹣c

　0，b+c

　0．

　 （2）化簡：|a+c|+|b﹣c|﹣|c+b|．

　 【答案】【第 1 空】＞ 【第 2 空】＜ 【第 3 空】＜ 【第 4 空】＜ 【第 5 空】＞ 【第 6 空】＜

　【分析】（1）根據數軸得出 c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞|a|，再比較大小即可； （2）先去掉絕對值符號，再合并同類項即可． 【解答】解：（1）從數軸可知：c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞|a|， 所以 a＞0，b＜0，c＜0，a+c＜0，b﹣c＞0，b+c＜0， 故答案為：＞，＜，＜，＜，＞，＜；

?。?）由（1）知：a+c＜0，b﹣c＞0，c+b＜0， 所以|a+c|+|b﹣c|﹣|c+b| ＝﹣a﹣c+b﹣c+c+b ＝﹣a+2b﹣c． 【知識點】絕對值、數軸、實數大小比較、有理數的減法、有理數的加法

　 20.計算：

?。?）已知 a、b 滿足（a+3b+1）

　2 + ＝0，且 ＝5，求 3a 2 +7b﹣c 的平方根． （2）已知實數 a，b，c 在數軸上的對應點如圖所示，化簡 +|c﹣a|+ ； （3）已知 x、y 滿足 y＝ ，求 5x+6y 的值．

　 【分析】（1）先根據平方、二次根式的非負性，立方根的意義，求出 a、b、c 的值，再代入求出 3a 2 +7b﹣c的平方根； （2）根據二次根式的性質即可求出答案； （3）根據二次根式有意義的條件得出 x，y 的值，代入解答即可． 【解答】解：（1）∵（a+3b+1）

　2 + ＝0， ∴a+3b+1＝0，b﹣2＝0． 解得 a＝﹣7，b＝2． ∵ ＝5， ∴c＝125． ∵3a 2 +7b﹣c

　 ＝3×（﹣7）

　2 +7×2﹣125 ＝147+14﹣125 ＝36， ∴3a 2 +7b﹣c 的平方根為±6； （2）由數軸可知：a＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0， ∴原式＝|a|+|c﹣a|+|b﹣c| ＝﹣a+（c﹣a）﹣（b﹣c）

?。僵乤+c﹣a﹣b+c ＝﹣2a﹣b+2c；

?。?）根據題意可得：

　， 解得：x＝﹣3， 把 x＝﹣3 代入 y＝y＝ ＝﹣ ， 把 x＝﹣3，y＝﹣ 代入 5x+6y＝﹣15﹣1＝﹣16． 【知識點】立方根、二次根式有意義的條件、平方根、非負數的性質：算術平方根、實數與數軸、非負數的性質：偶次方

　 21.閱讀下列材料，然后回答問題：

　對于實數 x、y 我們定義一種新運算 L（x，y）＝ax+by，（其中 a、b 均為非零常數），等式右邊是通常的四則運算，由這種運算得到的數我們稱之為線性數，記為 L（x，y），其中 x、y 叫做線性數的一個數對，若實數 x、y 都取正整數，我們稱這樣的線性數為正格線性數，這時的 x、y 叫做正格線性數的正格數對． （1）若 L（x，y）＝x+3y，則 L（2，1）＝

　，L（ ， ）＝

??； （2）已知 L（x，y）＝3x+by，L（ ， ）＝2，若正格線性數 L（x，kx）＝18（其中 k 為整數），問是否有滿足這樣條件的正格數對？若有，請找出，若沒有，請說明理由．

　【答案】【第 1 空】5 【第 2 空】3

　【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可求出值； （2）根據題中的新定義化簡已知等式，由 x，y 都為正整數，k 為整數，確定出所求即可． 【解答】解：（1）根據題中的新定義得：L（2，1）＝2+1×3＝2+3＝5，L（ ， ）＝ +3× ＝3； 故答案為：5；3； （2）根據題中的新定義化簡 L（ ， ）＝2，得：3× + b＝2， 解得：b＝2，

　 化簡 L（x，kx）＝18，得：3x+2kx＝18， 依題意，x，y 都為正整數，k 是整數， ∴3+2k 是奇數， ∴3+2k＝1，3，9， 解得：k＝﹣1，0，3， 當 k＝﹣1 時，x＝﹣18，kx＝﹣18，舍去； 當 k＝0 時，x＝6，kx＝0，舍去； 當 k＝3 時，x＝2，kx＝6， 綜上，k＝3 時，存在正格數對 x＝2，y＝6 滿足條件． 【知識點】實數的運算

　 22.定義一種新運算“*”滿足下列條件：

?、賹τ谌我獾膶崝?a，b，a*b 總有意義； ②對于任意的實數 a，均有 a*a＝0； ③對于任意的實數 a，b，c，均有 a*（b*c）＝a*b+c． （1）填空：1*（1*1）＝

　，2*（2*2）＝

　，3*0＝

??； （2）猜想 a*0＝

　，并說明理由； （3）a*b＝

?。ㄓ煤?a、b 的式子直接表示）．

　【答案】【第 1 空】1 【第 2 空】2 【第 3 空】3 【第 4 空】a 【第 5 空】a-b

　【分析】（1）1*（1*1）＝1*1+1＝1，2*（2*2）＝2*2+2＝2，3*0＝3*（3*3）＝3*3+3＝3，即可求解； （2）a*0＝a（a*a）＝a*a+a＝a，即可求解； （3）a*（b*b）＝a*b+b，即 a*0＝a*b+b，而 a*0＝a，即可求解． 【解答】解：（1）1*（1*1）＝1*1+1＝1， 2*（2*2）＝2*2+2＝2， 3*0＝3*（3*3）＝3*3+3＝3 故答案為：1，2，3； （2）a*0＝a（a*a）＝a*a+a＝a， 故答案為 a； （3）a*（b*b）＝a*b+b，即 a*0＝a*b+b， 而 a*0＝a， 故 a*b＝a﹣b． 【知識點】實數的運算

　 23.操作探究：已知在紙面上有一數軸（如圖所示）

?。?）折疊紙面，使表示的點 1 與﹣1 重合，則﹣2 表示的點與

　表示的點重合；

　 （2）折疊紙面，使﹣1 表示的點與 3 表示的點重合，回答以下問題：

?、? 表示的點與數 ﹣ 表示的點重合； ② 表示的點與數 ﹣

　 表示的點重合； ③若數軸上 A、B 兩點之間距離為 9（A 在 B 的左側），且 A、B 兩點經折疊后重合，此時點 A 表示的數是 ﹣

　 、點 B 表示的數是

　 （3）已知在數軸上點 A 表示的數是 a，點 A 移動 4 個單位，此時點 A 表示的數和 a 是互為相反數，求 a的值．

　 【分析】（1）求出表示兩個數的點的中點所對應的數，利用方程可以求出在此條件下，任意一個數所對應的數； （2）求出﹣1 表示的點與 3 表示的點重合時中點表示的數，在利用方程或方程組求出在此條件下，任意一個數所對應的數； （3）分兩種情況進行解答，向左移動 4 個單位，向右移動 4 個單位，列方程求解即可． 【解答】解：（1）折疊紙面，使表示的點 1 與﹣1 重合，折疊點對應的數為 ＝0，設﹣2 表示的點所對應點表示的數為 x，于是有 ＝0，解得 x＝2， 故答案為 2； （2）折疊紙面，使表示的點﹣1 與 3 重合，折疊點對應的數為 ＝1， ①設 5 表示的點所對應點表示的數為 y，于是有 ＝1，解得 y＝﹣3， ②設 表示的點所對應點表示的數為 z，于是有 ＝1，解得 z＝2﹣ ， ③設點 A 所表示的數為 a，點 B 表示的數為 b，由題意得：

?。? 且 b﹣a＝9，解得：a＝﹣3.5，b＝5，5， 故答案為：﹣3，2﹣ ，﹣3.5，5.5； （3）①A 往左移 4 個單位：（a﹣4）+a＝0．解得：a＝2． ②A 往右移 4 個單位：（a+4）+a＝0，解得：a＝﹣2． 答：a 的值為 2 或﹣2． 【知識點】實數與數軸、實數的性質