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《概率論與數理統計》復習提要
第一章
隨機事件與概率
1．事件的關系
? ? ? ? ? ? ? AB A B A AB B A B A
2．運算規則 （1）
BA AB A B B A ? ? ? ?
（2）
) ( ) (
) ( ) ( BC A C AB C B A C B A ? ? ? ? ? ?
?。?）
) )( ( ) (
) ( ) ( ) ( C B C A C AB BC AC C B A ? ? ? ? ? ? ?
?。?）
B A AB B A B A ? ? ? ?
3．概率 ) (A P 滿足的三條公理及性質：
?。?）
1 ) ( 0 ? ? A P
（2）
1 ) ( ? ? P
?。?）對互不相容的事件nA A A , , ,2 1? ，有?? ??nkknkkA P A P1 1) ( ) ( ?
?。?n 可以取 ? ）
?。?）
0 ) ( ? ? P
?。?）
) ( 1 ) ( A P A P ? ?
（6）
) ( ) ( ) ( AB P A P B A P ? ? ? ，若 B A ? ，則 ) ( ) ( ) ( A P B P A B P ? ? ? ， ) ( ) ( B P A P ?
?。?）
) ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P ? ? ? ?
?。?）
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．幾何概率 6．條件概率 （1）
定義：若 0 ) ( ? B P ，則) () () | (B PAB PB A P ?
?。?）
乘法公式：
) | ( ) ( ) ( B A P B P AB P ?
若nB B B ? , ,2 1為完備事件組， 0 ) ( ?iB P ，則有 （3）
全概率公式：
???nii iB A P B P A P1) | ( ) ( ) (
?。?）
Bayes 公式：
???nii ik kkB A P B PB A P B PA B P1) | ( ) () | ( ) () | (
7．事件的獨立性：
B A
, 獨立 ) ( ) ( ) ( B P A P AB P ? ?
（注意獨立性的應用）
第二章 隨機變量與概率分布 1． 離散隨機變量：取有限或可列個值，i ip x X P ? ? ) ( 滿足（1）
0 ?ip ，（2）
?iip =1
（3）對任意 R D ? ，??? ?D x iiip D X P :) (
2． 連續隨機變量：具有概率密度函數 ) (x f ，滿足（1）
1 ) (
, 0 ) (-? ?????dx x f x f ； （2）?? ? ?badx x f b X a P ) ( ) ( ；（3）對任意 R a? ， 0 ) ( ? ? a X P
3． 幾個常用隨機變量 名稱與記號 分布列或密度 數學期望 方差 兩點分布 ) , 1 ( p B
p X P ? ? ) 1 ( ， p q X P ? ? ? ? 1 ) 0 (
p
pq
二項式分布 ) , ( p n B
n k q p C k X Pk n k kn? , 2 , 1 , 0 , ) ( ? ? ??， np
npq
Poisson 分布 ) ( ? P
? , 2 , 1 , 0 ,!) ( ? ? ??kke k X Pk?? ?
?
幾何分布 ) (p G
? , 2 , 1
, ) (1? ? ??k p q k X Pk p1 2pq 均勻分布 ) , ( b a U
b x aa bx f ? ???
,1) ( ， 2b a ? 12) (2a b ? 指數分布 ) ( ? E
0
, ) ( ? ??x e x fx ??
?1 21? 正態分布 ) , (2? ? N
222) ( 21) (??? ????xe x f
?
2?
4． 分布函數
) ( ) ( x X P x F ? ? ，具有以下性質
?。?）
1 ) (
, 0 ) ( ? ?? ? ?? F F ；（2）單調非降；（3）右連續；
?。?）
) ( ) ( ) ( a F b F b X a P ? ? ? ? ，特別 ) ( 1 ) ( a F a X P ? ? ? ；
?。?）對離散隨機變量，???x x iiip x F :) ( ；
?。?）對連續隨機變量，? ???xdt t f x F ) ( ) ( 為連續函數，且在 ) (x f 連續點上， ) ( ) ("x f x F ?
5． 正態分布的概率計算
以 ) (x ? 記標準正態分布 ) 1 , 0 ( N 的分布函數，則有
?。?）
5 . 0 ) 0 ( ? ? ；（2）
) ( 1 ) ( x x ? ? ? ? ? ；（3）若 ) , ( ~2? ? N X ，則 ) ( ) (?? ?? ?xx F ；
?。?）以?u 記標準正態分布 ) 1 , 0 ( N 的上側 ? 分位數，則 ) ( 1 ) (? ?? u u X P ? ? ? ? ?
6． 隨機變量的函數
) (X g Y ?
（1）離散時，求 Y 的值，將相同的概率相加；
?。?）
X 連續， ) (x g 在 X 的取值范圍內嚴格單調，且有一階連續導數，則 | )) ( ( | )) ( ( ) (" 1 1y g y g f y fX Y? ?? ，若不單調，先求分布函數，再求導。
第三章
隨機向量
1． 二維離散隨機向量，聯合分布列ij j ip y Y x X P ? ? ? ) , ( ，邊緣分布列?? ?i ip x X P ) ( ，j jp y Y P?? ? ) ( 有 （1）
0 ?ijp ；（2）
? ?ijijp 1 ；（3）???jij ip p ，???iij jp p
2． 二維連續隨機向量，聯合密度 ) , ( y x f ，邊緣密度 ) (
), ( y f x fY X，有
?。?）
0 ) , ( ? y x f ；（2）
? ???? ???? ??1 ) , ( y x f ；（3）??? ?Gdxdy y x f G Y X P ) , ( ) ) , (( ；
?。?）???? ?? dy y x f x f X ) , ( ) ( ，???? ?? dx y x f y f Y ) , ( ) (
3． 二維均勻分布???????其它
0, ) , ( ,) (1) , (G y xG my x f ，其中 ) (G m 為 G 的面積 4． 二 維 正 態 分 布 ) , , , , ( ~ )
, (2221 2 1? ? ? ? ? N Y X ， 其 密 度 函 數 （ 牢 記 五 個 參 數 的 含 義 ）???????????????? ??? ???????22222 12 12121222 1) ( ) )( (2) () 1 ( 21exp1 21) , (??? ?? ?????? ? ??y y x xy x f 且) , ( ~
), , ( ~22 221 1? ? ? ? N Y N X ；
5． 二維隨機向量的分布函數 ) , ( ) , ( y Y x X P y x F ? ? ? 有 （1）關于 y x, 單調非降；（2）關于 y x, 右連續； （3）
0 ) , ( ) , ( ) , ( ? ?? ?? ? ?? ? ?? F y F x F ； （4）
1 ) , ( ? ?? ?? F ， ) ( ) , ( x F x FX? ?? ， ) ( ) , ( y F y FY? ?? ；
?。?）
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )
, (1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P ? ? ? ? ? ? ? ? ；
?。?）對二維連續隨機向量，y xy x Fy x f? ???) , () , (2 6．隨機變量的獨立性
Y X, 獨立 ) ( ) ( ) , ( y F x F y x FY X? ?
?。?）
離散時 Y X, 獨立j i ijp p p? ?? ?
?。?）
連續時 Y X, 獨立 ) ( ) ( ) , ( y f x f y x fY X? ?
?。?）
二維正態分布 Y X, 獨立 0 ? ? ? ，且 ) , ( ~2221 2 1? ? ? ? ? ? ? N Y X
7．隨機變量的函數分布 （1）
和的分布
Y X Z ? ? 的密度? ???? ???? ?? ? ? ? dx x z x f dy y y z f z f Z ) , ( ) , ( ) (
?。?）
最大最小分布 第四章 隨機變量的數字特征 1．期望 (1) 離散時 ??ii i px X E ) ( ，??ii ip x g X g E ) ( )) ( (
??；
(2) 連續時???? ?? dx x xf X E ) ( ) ( ，???? ?? dx x f x g X g E ) ( ) ( )) ( ( ； (3) 二維時??j iij j ip y x g Y X g E,) , ( )) , ( ( ， dy dx y x f y x g Y X g E? ???? ???? ?? ) , ( ) , ( )) , ( (
(4) C C E ? ) ( ；（5）
) ( ) ( X CE CX E ? ； （6）
) ( ) ( ) ( Y E X E Y X E ? ? ? ； （7）
Y X, 獨立時， ) ( ) ( ) ( Y E X E XY E ?
2．方差 （1）方差2 2 2) ( ) ( )) ( ( ) ( EX X E X E X E X D ? ? ? ? ，標準差 ) ( ) ( X D X ? ? ； （2）
) ( ) (
, 0 ) ( X D C X D C D ? ? ? ； （3）
) ( ) (2X D C CX D ? ； （4）
Y X, 獨立時， ) ( ) ( ) ( Y D X D Y X D ? ? ?
3．協方差 （1）
) ( ) ( ) ( ))] ( ))( ( [( ) , ( Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov ? ? ? ? ? ； （2）
) , ( ) , (
), , ( ) , ( Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov ? ? ； （3）
) , ( ) , ( ) , (2 1 2 1Y X Cov Y X Cov Y X X Cov ? ? ? ； （4）
0 ) , ( ? Y X Cov 時，稱 Y X, 不相關，獨立 ? 不相關，反之不成立，但正態時等價； （5）
) , ( 2 ) ( ) ( ) ( Y X Cov Y D X D Y X D ? ? ? ?
4．相關系數
) ( ) () , (Y XY X CovXY? ?? ? ；有 1 | | ?XY? ， 1 ) (
, , 1 | | ? ? ? ? ? ? b aX Y P b aXY?
5． k
階原點矩 ) (kkX E ? ? ， k
階中心矩kkX E X E )) ( ( ? ? ?
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