線面積分的類比教學法

總結、類比，用最通俗的語言講解問題的本質。只有這樣，學生才能活學活用。高等數學的教學質量才可以得到提升。本文用類比法來講解曲線積分與曲面積分，并結合Matlab2018a軟件以更加直觀的形式給學生演示兩類積分的特點。

一、曲線積分與曲面積分的區別與聯系

曲線積分與曲面積分是高等數學下冊中最重要的一章內容。這兩個定義都有著不同的物理含義。曲線積分分為第一型曲線積分和第二型曲線積分。曲面積分同樣也分為第一型曲面積分、第二型曲面積分。兩種類型的積分都可以相互轉化。

1.曲線積分的特點。第一型曲線積分是求整個曲線形構件的質量。被積函數是線密度函數。密度是一個標量，不存在方向。第二型曲線積分是求變力沿曲線做功問題。力是矢量，存在方向，所以在計算積分時要考慮被積函數和積分微元的關系，即它們之間的夾角。這個夾角是用該點處的切線和“力”的方向來衡量的。

2.曲面積分的特點。第一型曲面積分是求面質量。被積函數是面密度函數。面密度是一個標量，無方向性。第二型曲面積分是求曲面流量問題。類似的，在曲面上每一點的“速度”是被積函數在這一點處的矢量值，與面積分微元做積分運算時需要考慮兩者的關系：面積分微元的法向量與該矢量之間的夾角。

二、曲線積分與曲面積分的計算

無論是曲線積分還是曲面積分的計算，最終都轉化為一元函數定積分的計算。因此定積分的計算是曲線積分和曲面積分計算的基礎。

1.兩種積分的計算步驟：（1）將曲線或者曲面方程代入被積函數，消去某個或者替換某個變量。（2）將曲線或者曲面投影到坐標軸或者坐標平面上，確定積分區域。（3）第二型積分具有方向性，積分取正號還是負號，由曲線方向和坐標軸正向的夾角確定，或者由曲面的法方向與坐標平面的正法方向的夾角確定。（4）封閉曲線或封閉曲面的積分由格林公式、高斯公式、斯托克公式進行邊界和區域積分的相互轉化。

2.兩種積分的計算要點：（1）曲線積分和曲面積分的積分對象都是函數。函數如果在曲線或者曲面上，則將曲線或者曲面方程代入到被積函數中。消去哪個變元由曲線或者曲面在誰上的投影決定。（2）在完成曲線和曲面方程代入步驟后，根據題意選擇合適的投影方式將曲線積分和曲面積分變成普通積分。投影選取規則為：曲線積分選擇曲線在坐標軸上的投影，曲面積分選擇曲面在坐標平面上的投影。如果投影區域有重疊，則將曲線和曲面分隔成若干部分后再分別積分。（3）第二型曲線和曲面積分（即對坐標的曲線和曲面積分）做投影時，如何選擇方向顯得很關鍵。

方向選取規則：

曲線：曲線做投影時，則考慮曲線的方向和軸正向之間的夾角，情況如下：夾角為銳角，方向角的余弦取正號;夾角為鈍角，方向角的余弦取負號;夾角為90°，方向角的余弦為0。積分的上下限的確定和定積分一樣，即：小在下，大在上。

曲面：曲面投影到平面上，則考慮曲面的法方向和平面的正法方向之間的夾角，情況如下：夾角為銳角，方向角的余弦取正號;夾角為鈍角，方向角的余弦取負號;夾角為直角，方向角的余弦則為0。

不管是曲面積分還是曲線積分，首先將曲線或曲面方程代入被積函數，其次把曲線或曲面投影到坐標軸或者坐標平面上，然后確定積分區域，最后積分的正負號由夾角的情況來確定。

三、Matlab軟件實例演示

Matlab是全世界目前公認的三大主流數值計算軟件。Matlab具有強大的繪圖和計算能力。通過列舉四個不同類型的積分，用Matlab2018a軟件編程，將具體計算的過程分步演示給學生看，可以讓復雜的計算過程變得更直觀，加深學生對知識要點的理解，提升對高等數學的學習興趣，開闊學生的學習視野，提升教師的理論教學效果，讓生硬的課堂氣氛變得更加活躍。

四、結論

眾所周知，數學問題來源于實際生活。學習高等數學的目的就是為了更好地解決實際問題。在曲線積分和曲面積分類比教學中，為了讓學生能準確把握線面積分的區別與聯系，教師在講授高等數學重難點時應積極借助科學計算軟件，真正做到活學活用，學以致用。

參考文獻：

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The Analogy Method of Teaching Surface Integration and Curvilinear Integration

XIONG Ju-xia，HUANG Yong，JIN Qing-geng，QU Liang-dong

（Guangxi Key Lab of Hybrid Computation and IC Design Analysis，Guangxi University for Nationalities，Nanning，Guangxi 530006，China）

Abstract：Higher mathematics is a compulsory degree course in university science and engineering.Curvilinear integration and surface integration are one of the most difficult problems in the lower secondary mathematics.Many students feel very at a loss when learning curve integrals and surface integrals.In order to allow students to better grasp the curve integrals and surface integrals，to quickly and accurately calculate the curve integrals and surface integrals，this paper uses the analogy method to explain the curve integrals and surface integrals，and uses Matlab 2018a software to demonstrate the differences between the two types of integrals.

Key words：advanced mathematics;curve integral;surface integral;analogy