中美主流微積分教材比較與分析

在信息量不斷膨脹的當代社會，大量的數字充斥著人們的視野，處理和閱讀數字背后信息的能力顯得愈發重要，因此，微積分等高等數學課程在培養學生數學能力、提高數學素養方面的作用越來越受到肯定和重視。教材體現了微積分教育的理念，決定了微積分教學的內容，是微積分教學中不可忽視的一環。我國目前雖然每年都有不少重點教材、規劃教材推出，然而大多數是經典數學理論體系和方法的簡單重復和增刪取舍，缺少實際應用，真正有新意的并不多。在此，筆者選取了中美兩國的兩本流傳度較廣的微積分教材，即美國最為暢銷的微積分教材——James Stewart的《微積分》和國內經管類專業使用比較廣泛的中國人民大學趙樹嫄編著的《微積分》（第3版），并從兩者的編寫思想、內容呈現、習題設置等方面進行比較和分析，以期發現美國微積分教材中可資借鑒的地方，進而為我國的微積分教材改革提供一些參考。

數學內容的比較

Stewart版《微積分》主要內容包括：函數與模型、極限與導數、求導法則、微積分的應用、積分、積分的應用、積分方法、積分的進一步應用、微分方程、參數方程和極坐標、無窮序列與級數、向量與解析幾何、向量函數、偏導數、多重積分、向量微積分、二階微分方程等17個部分。而人大版《微積分》主要內容包括：函數、極限與連續、導數與微分、中值定理與導數的應用、不定積分、定積分、無窮級數、多元函數、微分方程與差分方程簡介等9個部分。

從純數學理論的角度來看，這兩本教材比較接近，內容基本相同，這是非常自然的。因為這些內容本就是微積分數學理論體系和方法的核心內容，無論對哪個國家的學習微積分課程的學生來說都是必須具備的經典知識。然而從附加內容上來看，兩本教材就存在著明顯的差異了。Stewart版《微積分》在介紹數學內容的同時還把數學史、數學文化教育貫穿進來；將重要的概念和定理從產生的實際背景，到抽象定義，再到實際應用的過程中所經歷的智慧、方法和趣事展現給學習者。如在介紹極限時，會在書頁左側的空白處插入“牛頓與極限”“柯西與極限”的小知識。這種如講故事般輕松愉快的方式，既增加了學習的趣味性，也使學習者在學習的過程中容易看到微積分的時代背景、本質，對微積分“從何而來，是什么，能做什么”有更多的理解和認識，可以擁有更開闊的視野，為創造性思維打下基礎。這個在國內教材中幾乎很難看到。

編寫理念的比較

Stewart版《微積分》和其它美國大多微積分教材一樣強調對概念的理解，并通過四原則來實現——即闡述主題的“幾何化、數值化、代數化和文字化”。如講極限概念時，通過數值計算、圖形演示的方式直觀而自然地引出了極限的文字化定義，或者說直觀定義，再以同樣的方式給出大量的例子，甚至極限的運算法則。讓學生首先對極限本質有了一個強烈的認識之后，再在后面的內容中進一步介紹極限的嚴格的代數化定義——ε-δ定義。強化了對極限這一概念本身的理解。

人大版《微積分》與我國其它大多數微積分教材一樣更注重嚴格的邏輯證明和公式的推導，主要以代數化，輔以少量幾何化的方式闡述數學內容，對于內容的數值化和文字化的表示則略去不提或一筆帶過。仍以極限為例，人大版《微積分》通過兩個數值的例子引出極限的直觀定義后就直接進入到ε-δ定義，并將重點放在了用此定義證明極限上面。學生的注意力很快就從極限本身轉向了公式的推導和證明。這導致不少學生在學完微積分后能證明和計算極限，卻不能清晰地說出極限究竟是什么。

日本數學家米山國藏說：“我搞了多年的數學教育，發現學生們在初中、高中接受的數學知識因畢業進入社會后，幾乎沒有什么機會應用這些作為知識的數學，所以通常是出校門不到一兩年很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么業務工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數學精神、數學的思維方法、研究方法和著眼點等，都隨時隨地發生作用，使他們受益終生?！痹谕ㄗR教育、素質教育的大背景下，轉變和革新教學理念并將其體現在教材建設上來，是每一個數學教育工作者都應該深入思考的問題。

數學應用的比較

與國內教材相比，國外教材的一個突出的特點是把數學理論應用于解決實際問題。教材中的應用題習題量大、時效性強，選擇的幾乎都是最新的實際問題，內容涉及物理學、幾何學、生物學、化學、醫學、經濟學、金融學、社會學、建筑學、地質學等，幾乎包含了各個學科領域。而且時效性較強，不同的學科領域面廣、量大，緊密結合了最新的實際問題。如Stewart《微積分》（第5版），第17頁在講到函數的表示方法時給出了Northridge地震的記錄圖；第210頁在講到導數刻畫變化率的問題時，所引的例子為物理學上金屬桿或金屬片的線密度，化學中化學反應的反應速度，生物學中血液流動速度相對于血流到血管中心軸線距離的變化率，以及經濟學中生產的邊際成本；在講到導數的應用問題時又介紹了對彩虹的形狀、位置和顏色的數學解釋。盡管這些問題從數學角度來看都只不過是關于某個指標的變化率，然而一旦和實際問題相聯系，既增加了題目的趣味性，又拓寬了讀者的知識面，價值大大增加了。

國內教材在應用方面多局限于微積分在物理、幾何中的傳統應用，而且所涉及到的數據也多是純為解題而編造出來的，并非如國外教材一般多用的是現實生活中的真實數據。由于缺少時代氣息和真實感，國內教材容易使學生感覺到自己與微積分距離十分遙遠，從而影響了其學習積極性。實際上，微積分的一個顯著特征是數學核心內容十分成熟穩定，但應用卻越來越廣泛。Stewart版《微積分》通過精選只涉及較為初等的數學知識而又能體現微積分思想和數學建模精神，能引起學生興趣，又是學生在生活中可能會真實接觸到的案例，訓練了學生用數學解決實際問題的能力。近年來，國內教材在這方面有所改進，但做得仍然是很不夠的。

學習方式的多樣性比較

Stewart版《微積分》在引入數學主題的時候，經常先給出數值計算的近似結果，再盡量給出幾何直觀圖，最后再給出嚴格的敘述。把數學理論和計算機技術有機結合，這是很多美國微積分教材的又一突出特點。這樣做，既符合科學發現的規律，又給學生提供了利用近似計算解決工程等實際問題的范例。隨著現代技術的發展尤其是計算機代數系統（CAS）的出現使計算機具有了多重聯系表示系統，為教學提供了契機。在Stewart版《微積分》中穿插了大量的利用數學軟件進行計算作圖的問題，所做的圖形精確漂亮，能使學生真實地感受到數學的美，增加了學習的興趣。如第142頁講到無窮遠的極限時，先給出數值計算的近似結果，然后給出了CAS畫出的精確度比較高的直觀圖形，再給出嚴格的論證。學生也可以利用CAS強大的功能去解決很多計算問題，從而有更多時間去深入思考概念、基本理論和更復雜的例子，并應用到實際問題上。此外，網絡技術的發展使微積分教材變得更加立體，Stewart版《微積分》隨書附贈了兩張CD-ROM，一張稱為“TEC”（感受微積分），提供了一個實驗環境，如同一個無聲的老師，用探索、啟發式的方法逐步引導學生分析并解決問題，還能鏈接到網絡教學資源網站。另一張稱為“Interacive Video Skillbulder”（交互學習微積分），包含有與微積分教學有關的視頻與音頻等。教學可以不再局限于課堂，教學時空得到了延伸。

人大版《微積分》在計算機技術的應用上體現得很少，只是把部分較簡單的近似計算內容穿插在相應章節中，由于沒有把這些計算和計算機結合，手工計算又很繁瑣，因此在教學中要么不講，要么一帶而過，完全體現不出近似計算在實際應用中的重要價值。這一點對于工科和經管類專業的學生來說應該是個不小的遺憾。

例題和練習題設置的比較

Stewart版《微積分》習題的量很大，而且題目的類型也多，從概念復習題、判斷題，到難度各別的計算題、證明題和應用題，一直到綜合性較強的探索研究題，此外還有用CAS解決的各種練習，習題按節和章安排，每節的習題分為一般練習題（包含難度各異的計算題、證明題和應用題）和應用研究題，每章的總習題則分為概念題、基于概念的判斷題、練習題和附加題（主要是一些難度或靈活性較大的題，或者是對某些教材內容進行推廣的習題或探索性習題），層次分明，便于使用。在習題的選配上，Stewart版《微積分》具有以下幾個特點：其一，每章都專門設計和集中編排了一些非?；镜母拍铑}，以幫助學生學習和復習基本概念；其二，與基本概念和定理相結合的圖形題不僅多而且設計精妙；其三，編排了一些不同數學學科之間的交叉題，有利于開闊學生的眼界，激發學習其它數學課程的興趣；其四，應用題數量多、覆蓋面廣，所用數據都來自生產與生活實際，有很強的真實感，不少應用題及時反映了當代科技發展的新成果，貼近時代步伐；其五，有相當數量的使用計算機技術的習題；其六，注意習題的趣味性，增加習題對學生的吸引力。

人大版《微積分》習題按章安排，每章習題分為（A）、（B）兩部分，（A）部分基本是難度各異的計算題，以及少量的證明題，某些章還有少量概念題和應用題；（B）部分均為選擇題，以計算為主，有少量考查概念理解。

對比發現，中美微積分教材在習題的風格和設計的立意上有著明顯差異。就風格而言，我國的教材習題類型比較單一，從數學上“加工”的比較正規，多為機械式的重復訓練，相對比較枯燥；而美國教材的習題形式比較多樣，有些題目是比較開放性的。就設計立意而言，我國教材的習題多以知識立意為主，立足于對所學知識進行復習、鞏固和推廣，比較嚴謹；而美國教材的不少習題立足于能力立意，更注重數學應用能力的培養，比較活潑。應該說兩種風格和立意的習題各有優缺點，具有互補性。

結束語

總體來說，兩種教材在基本的內容體系和知識點上差別不大，比較明顯的差異在同樣內容的不同呈現方式上。我國的教材大多比較注重符號的抽象表達、符號轉換和公式推導，過于強調理論的嚴謹和數學語言的表述，通常忽視了淺顯易懂的自然語言的運用。所以針對概念的數值、圖像、符號、自然語言的不同表達，我國學生呈現出符號較強、圖像稍弱、數值與語言最弱的趨勢。這使得學生對抽象概念能暫時記住，會用于計算或證明，但對其中所包含的數學思想缺乏真正的理解，無法用來解決實際問題，時間一長自然就都忘卻了。如果能借鑒美國微積分教材編寫的“四原則”，以多種表征方式呈現知識，學生也許更容易接受抽象概念。適度使用計算機技術，使教材能夠變得“立體”起來。加強對數學理論進行實際應用的內容，使學生真正明白微積分能做什么、怎樣做，從而激發學生的學習興趣。當然，我國的微積分教材也有自身的優勢，如前后內容銜接緊密，條理清晰，重復少，在課時有限的情況下教師容易教學等。但是，在我國微積分教材總體趨同的現狀之下，美國微積分教材為我們提供了一個新的思路和參照，有重要的借鑒作用?！八街?，可以攻玉”，理科數學、工科數學、經濟管理類數學、文科數學、職業教育的數學，不同層次的微積分教材大同小異，無非是經典內容的增刪取舍，體現不出應有的差異性。

參考文獻

[1]郭鏡明，應明，朱小平.美國微積分教材中的習題配置特色[J].大學數學，2005（2）

[2]James Stewart著，白峰杉譯.微積分（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2004

[3]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007

（作者單位：中國勞動關系學院）