暗香浮動:透過教學過程看教學設計的認知達成

1.問題的提出

教學設計是根據教學對象和教學內容,確定合適的教學起點與終點,將教學諸要素作有序安排,形成教學方案的過程。通常要求結構上的系統性,操作上的程度性,理論上的先進性,實踐上的可行性和效果上的最優化。數學教學設計是運用現代數學教育理論和現代教育技術去分析數學課堂教學問題,確定解決教學問題的策略和途徑,并對教學結果進行評價的系統計劃過程。通過教學設計使數學課堂教學更具科學性,有效優化課堂教學結構,提高課堂教學效率,順利實現教學目標。

當前課程改革過程中,數學教師的課堂教學設計比較薄弱。究其原因,是許多數學教師不重視教學內容分析,缺乏對教學內容的深刻理解,不領會教學內容前后間的關聯,不能整體全面地把握教學內容,對教學內容的認知水平較低,不會合理處理教學內容、優化教學設計,就導致在教學過程中盲目糊涂,造成教學質量低下。

本課題就“四邊形內角和”的教學內容,進行了三次教學設計并進行教學,在此基礎上截取了三堂課中“四邊形內角和定理證明”這一片段進行比較研究,從教師不同的教學設計和教學過程來分析教師認知的變化,并加以思考,為提高教師的教學設計水平和開展有效的課堂教學提供一些幫助。

2.課例教學內容分析

2.1教學內容:

浙教版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》八年級下冊第五章“平行四邊形”第一節“多邊形”(第一課時)

2.2教學目標:

2.2.1知識與技能

了解四邊形的概念,理解四邊形的內角和定理、外角和定理,會用四邊形內角和定理、外角和定理解決簡單的圖形問題。

2.2.2過程與方法

經歷四邊形內角和定理的發現過程,在該活動中培養學生的探究意識和合作精神。

2.2.3情感、態度與價值觀

在探索四邊形內角和定理的過程中,體會實踐的作用;在解決有關四邊形問題的過程中,體驗把四邊形問題轉化為三角形問題來解決的化歸的思想。

2.3教學重點:四邊形內角和定理

2.4教學難點:四邊形內角和定理的證明思路不易形成,是本節教學的難點。

3.教學內容認知背景分析下的教學設計方向

3.1把“三角形內角和知識”作為認知背景進行教學設計

“四邊形內角和”是在學生學習了“三角形內角和”之后進行的,“三角形內角和知識”是新內容學習的認知背景,這將是學生學習的自然感覺,也是教材設計的基本意圖。但如何順利建立兩者的邏輯聯系是教學中一個基本的難點?？墒窃诮虒W設計過程中把“三角形內角和知識”作為認知背景進行教學設計是一種最基本和最重要的方向,這一難點教師在設計中該如何突破是教學中學生知識獲得和能力提升的關鍵所在。

3.2把“三角形內角和”學習體驗作為認知背景進行教學設計

學生在“三角形內角和”學習中,教師啟發幫助學生證明△ABC的內角和∠A+∠B+∠C=180°時,提供有兩個關鍵問題:1、180°從何處獲得?2、怎樣把三個角加起來?

這種類似性使得當初的學習體驗具有很強的可遷移性。當初是怎樣探究問題的?是怎樣證明問題的?遇到哪些困難?輔助線是如何找到的?……這些智力活動所產生的體驗,對現在處理“四邊形內角和”非常有幫助。如果這些個性化、過程性的隱性知識在當時教學時受到重視,以及對這些隱性知識如何遷移的心理機智認識到位,那么現在就可以激發學生的這一認知背景來進行教學設計。

3.3把“周角的定義”作為認知背景進行教學設計

以前證明“三角形內角和”定理的一個基本思路是:作角的集中,轉化為平角。怎樣集中呢?如圖1,通過作輔助平行線,將三角形的內角集中到其中一頂點處的一個平角,實現圖形的變換、組合?，F也可以設計通過添加平行線將四邊形的內角集中為一個周角進行問題的解決。

3.4把“兩直線平行、同旁內角互補”作為認知背景進行設計

由平行線的同旁內角互補知識,進行角的轉移,如圖2,作DE∥AB,有∠A+∠B+∠C+∠D=∠A+∠B+∠1+(∠2+∠3)=∠A+∠B+(∠1+∠2)+∠3=∠A+∠B+∠4+∠3=(∠A++∠3)+(∠B+∠4)=180°+180°=360°

這一證明過程也體現了三角形內角和證明方法的體驗類比:通過添加平行線,實現角的轉移。

4.教學內容的數學思想方法分析和設計:

目前,重視數學思想方法的教學已成為一種國際數學教育改革的潮流,在教學過程中應該重視數學思想方法的教學。因而,我們在教學設計過程中應充分重視這一點。知識通常是顯化的,而數學思想方法是潛在的,教師應認真分析教學內容,充分挖掘,把數學思想方法在教學過程中設計出來,讓學生領悟。本節內容的數學思想方法分析和設計如下:

數學思想方法1:類比。通過三角形內角和問題解決方法的類比,在四邊形內角和問題解決過程中也通過角的變換轉移來處理,類比是教學設計中要體現的一個重要思想。

數學思想方法2:化歸。通過輔助線將“四邊形的內角和”化歸為“三角形的內角和”,化歸是教學設計中要體現的一個重要思想。

數學思想方法3:數形結合。在推理證明過程中,需要把幾何圖形上直觀的隱性和“∠A+∠B+∠C+∠D”,通過角的分割、轉移與合并,產生求和式的拆項、交換與結合,轉化為代數上的顯性和,數形結合是教學設計中要體現的一個重要思想。

數學思想方法4:分解與組合。在將“四邊形的內角和”化歸為“三角形的內角和”過程中圖形的分割、變換與拼接,推理過程中角的代數和轉化應用數式的拆項、交換和結合,都體現了分解和組合的數學思想。

數學思想方法5:不變量。四邊形四個內角∠A、∠B、∠C、∠D的角度都可以變化,但變化過程中卻相互依存聯系,從而∠A、∠B、∠C、∠D的和不變,體現了變化中的不變量思想。

5.課例研究過程

5.1不識廬山真面目(第一次教學片段)

5.1.1情境創設

師:在一張紙上任意畫一個四邊形,剪下它的四個角,把它們拼在一起(四個角的頂點重合)。你發現了什么?其他同學與你發現相同嗎?你能把你的發現概括成一個命題嗎?

教師的話音剛落,幾個活躍的學生開始在說“360°”,學生們也都開始動手剪拼,他們把四個角剪下來,拼在一起,然后也都跟著在說“360°”。課堂有點熱鬧!

師:哪位同學來把你的發現概括成一個命題?

許多學生都在下面小聲的叫喊“四邊形內角和等于360°”,教師叫起了一位學生回答。

生:四邊形內角和等于360°。

5.1.2“四邊形內角和等于360°”證明思路探尋和展開

已知:四邊形ABCD(如圖3)

求證:∠A+∠B+∠C+∠D=360°

教師思路分析:三角形內角和為180°,四邊形內角和為360°,我們能把四邊形轉化為三角形的知識來解決嗎?

經過教師的提示分析,學生有了一些回應,一些學生在說“連結對角線”。教師連結了對角線,學生口述證明過程,教師板書示范。

5.1.3課后反思

學生如何知道四個角拼在一起就是一個定值(周角360°),真的就不少一點,也不多一點?按學生現已有的邏輯思維水平,實驗幾何在此還應延續嗎?

探究教學設計僅起到“敲門磚”的作用,僅滿足于學生的一時興趣,沒有進行深層次的挖掘,教師把探究的設計理解成了最低的情境教學,一帶而過。數學探究的設計應為后面的教學服務。

學生在上一章中已完整正規地學習了證明,已經站在了思維的高起點之上!這樣的探究活動降低了學生的數學思維水平,且與學生繼續探尋四邊形內角和的證明思路沒有緊密關聯。

學生證明思路的產生是在教師提示分析下形成的,可以說絕大多數學生沒有自主產生這樣的證明思路,如何讓學生自然產生證明思路,順利添加輔助線,掌握“化歸”的數學思想是教學中的難點,上述教學設計沒有突破這一難點。

5.1.4認知分析

教師情境創設和證明思路探尋上的脫節源于教師認知的脫節。該情境創設的認知是把“周角的定義”作為認知背景,類比三角形內角和的證明將四邊形的內角集中為一個周角。而教師在證明思路探尋過程的設計認知是把“三角形內角和知識”作為認知背景,兩者之間形成了明顯的思維斷裂層,無法有效的銜接,融合。

5.2亂花漸欲迷人眼(第二次教學片段)

5.2.1情境創設

師:四邊形ABCD,請你把它分割成三角形,嘗試操作,你有幾種分割的方法?

老師提問完之后,學生在課堂練習本上將四邊形ABCD進行分割,許多學生都出現了多種不同的分割方法。教師投影反饋結果如下(圖4):

…………,學生還有許多如圖4(2)的點P在AB、BC、DA邊上的分割方法,如圖4(4)的點P在四邊形內的其它位置。

5.2.2探尋結果并證明

師:結合剛才的分割,請問四邊形的內角和為多少度?并給出證明!

生1:四邊形的內角和為360°。如圖4(1)連接AC,∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=(∠CAB+∠ABC+∠BCA)+(∠ACD+∠CDA+∠DAC)=180°+180°=360°

生2:如圖4(2)在邊BC上取一點P,連接AP、BP,∠DAB+∠B+∠C+∠CDA=(∠PAB+∠B+∠BPA)+(∠APD+∠PDA+∠DAP)+(∠PDC+∠C+∠CPD)-(∠BPA+∠APD+∠CPD)=180°+180°+180°-180°=360°

生3:…………

學生給出了不同分割的證明方法。

師:很好,同學們給出了不同的分割方法,并用多種方法證明了四邊形內角和為360°,(板書定理:四邊形內角和為360°),接下來我們來應用這一定理解決問題。

5.2.3課后反思

四邊形內角和問題的解決過程將為后面多邊形的內角和提供問題解決的思路和方法,教師在設計中將問題解決的過程放大和延長,對隱性知識加以了重視,讓學生體驗了問題解決的過程,為后續學習埋下思維的種子。

情境的創設和證明思路的形成較緊密,演繹幾何在此得到了加強,通過學生采用不同的分割方法進行推理論證,培養了學生的推理論證能力,同時也使學生獲得了數形結合和分解組合數學思想的體驗。

學生將四邊形分割成三角形的方法有許多,讓人眼花繚亂,但所有輔助線添法的本質是先取一點,然后將這點與四邊形的四個頂點作連線。由于取點的方式不同,與四邊形頂點的連線也就不同,從連一條線到連四條線,形式上好象很多,但從這一點與四邊形的位置看,只有兩種:點在四邊上,點在四邊形內。教師面對眾多信息沒有引導學生進行歸納、整理,學生在眾多信息的干擾下無法形成明確的問題解決思路。

5.2.4認知分析

教師此處教學設計的認知出發點是“三角形的內角和180°”,將四邊形通過分割轉化為三角形的知識加以解決。在這一認知背景的設計下,學生對四邊形進行轉化的途徑非常豐富。但教師在利用學生的豐富資源時只停留在“一題多解”的操作層面上,沒有進行化歸思想、數形結合思想、不變量思想、分解組合思想等的歸納提煉,在眾多信息的干擾下,部分學生是“霧里看花”,連一個基本的證法都掌握不了。問題的產生源于教師設計時認知水平不夠深刻,過分專注問題解決的多樣化,只注重于“三角形內角和知識”這一顯性的認知背景,忽視了多樣化解法下的共同本質,忽視了數學思想方法的教學。

5.3暗香浮動夜黃昏(第三次教學片段)

5.3.1情境創設

課前讓每個學生準備一個三角形紙片,課堂上先提問三角形的內角和,然后讓學生用紙片三角形折疊產生四邊形,提出如何求四邊形內角和的課題。這時,學生出現了如下一些典型的折疊方法:

………,教師將學生的各種折疊方法投影到黑板上。

5.3.2小組探究

師:請根據折疊后小三角形一個頂點與折疊出現的四邊形位置關系(在四邊形內、在四邊形的某一邊上、在四邊形外)的三種情況進行分組,小組合作探究四邊形的內角和。

學生分成前后桌四人一組,教師按照小組數學學習的實際情況,薄弱小組探究圖5(1)、(2),中等小組探究圖5(1)、(2)、(3),優秀小組探究全部的圖形。

在教師的布置下小組中的每個人在獨立思考的基礎上,同組成員互相交流。

教師在這一過程中巡回輔導,給予各個小組幫助和指點,引導學生對數學本質的關注、數學思維的投入和問題解決的活動。

5.3.3成果交流

各小組匯報交流成果,各小組通過投影并口述報告,講解問題解決的方法,通過將四邊形轉化為三角形內角和與平角、周角的代數組合進行解決。

例如:如圖6,連接PB、PC,

∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=(∠PAB+∠ABP+∠BPA)+(∠APD+∠PDA+∠DAP)+(∠PDC+∠DCP+∠CPD)-(∠BPC+∠PBC+∠PCB)

=180°+180°+180°-180°=360°

也出現了如圖7將折疊還原后將四邊形內角和轉化為兩個三角形內角和解決方法:

∠2+∠3+∠6+∠7=∠2+∠3+(∠1+∠5)+(∠1+∠4)=(∠1+∠2+∠3)+(∠1+∠4+∠5)=180°+180°=360°

5.3.4知識鞏固

如圖8,求圖形中各內角之和。

在學生自己獨立思考解決后,反饋問題的解決結果如下:

學生在圖9(1)中將圖形的各內角之和化歸為△ABE的內角和+△BEC的內角和+△CED的內角和,圖9(2)化歸為四邊形ABCE內角和+△CED內角和,圖9(3)化歸為四邊形ABCD內角和+點E處的周角-△AED的內角和,圖9(4)化歸為四邊形ABPE內角和+四邊形PCDE內角和-點P處的平角。

教師在學生問題解決后對解法進行點評,共同提煉“化歸為已經解決的問題”的基本數學思想。提高學生領悟數學思想的能力,從而提高學生解決問題的能力。

5.3.5課后反思

通過簡單的動手操作和情境感知,直接進入課題“求四邊形內角和”,通過“求”來強化知識的發現發生過程,讓學生自然體驗問題的解決過程,在問題解決過程中體現對隱性知識的關注和學習能力的培養。

通過小組探究,努力發揮探究學習與接受學習的雙重優勢,體現數學探究的的特點(獨立思考、思維投入、問題解決、思想提煉等);努力調動教師和學生的雙重積極性,注重學生原有知識經驗在新知識學習中的作用。

通過“情境創設、小組探究、合作交流”這一過程,努力進行數學實質與教學方式的有機結合,突出對數學本質的關注,突出對數學思想方法的提煉,體現情境、合作、會話對意義建構的重要作用。

實驗幾何和演繹幾何在此相得益彰。通過折紙改變一開始就枯燥乏味的形象,激發了學生的學習興趣,培養了學生的實踐和創造能力,也為后面的邏輯推理論證的思路尋找設下伏筆。演繹幾何在此培養了學生縝密合理的思考習慣,嚴謹精確的語言和抽象概括的能力,使學生的論證推理能力有了很大的發展空間。

5.3.6認知分析

教師在這里的設計是從“三角形內角和180°”認知出發,通過許多折疊圖形的自然暗示(特別是圖5(1)、5(2)類型的圖形),使學生產生了將四邊形分割為三角形的自然思維動力,在合作探究的問題解決過程中體驗到“數形結合”、“分解與組合”、和“化歸”等重要數學思想。同時通過練習“求五邊形內角和”突破了“三角形內角和180°”這一認知背景,將“化歸為三角形內角和”的數學思想提升到“新知識化歸為已解決的問題”這一高度,避免出現“認知背景”異化為“認知障礙”。

6.課例研究總結反思

數學教學的基本目標是促進學生的發展,數學教學不僅是知識的教學,還應體現數學的教育價值——以知識為載體的數學素質教育。教師要挖掘數學知識內在的、蘊涵的教育價值,就必須加深對數學、對課程內容的整體認識和理解,分析和研究如何在進行知識教學的同時,以知識為載體去體現數學的價值,數學教學的價值。

有效的教學設計是一個能孕育和催生學科知識生長的溫床,是一個能引導學生產生積極思維和認知沖突,又能激發學生渴望獲得生成新知的磁場。學生缺乏探究問題的內在需求,很難形成初步的創新精神和實踐能力。只有教師自覺地用內心去感悟和體驗數學教學設計的思維過程,才能使數學教學充滿活力。這就需要我們在問題的設計過程中,遵循學生的認知水平,幫助學生找準知識的聯結點,順其自然地將學生引到后續學習的知識中去。

設計要有效。要表現出教師對教材的深入研究;與學生的智力和知識水平的發展相適應;能激發學生的學習欲望;有助于實現教學過程中的各個具體目標;有一定難度,具有探索性,能促進思維的發展。

設置數學活動要突出數學的思維價值,隱藏在數學活動中的數學知識和方法需要學生的發現和領悟,所探究的問題要能引起學生認知沖突促使他們積極思考。

要突出數學學習的過程性。在過程中努力體現隱性知識的滲透,使隱性知識得到和顯性數學知識同樣的重視,過程和結果并重。

要突出培養學生的數學思想方法。數學思想方法是凌駕于數學解題技能之上的起指導或策略性作用的一種要素。教師在教學中不應只著眼于一個數學問題的解決,而應有意識地自覺挖掘問題解決過程中所蘊涵的數學思想方法。

要重視認知結構的整合。從學生的認知發展角度看,學生認知的核心成分——思維能力更加成熟,基本上完成了向理性思維的轉化,抽象邏輯思維占了優勢地位,數學教師的認知要順著學生的認知走,設法從教法上加以改進,在教學過程中創造有利于教與學雙方達成平衡的雙邊活動機會。在教學過程中,要把教師的認知無形地滲透給學生,與學生認知的相整合,要注重知識的整體化,有意識地整合學生的認知結構,推動學生的思維敏捷性和創造能力的培養。

總之,教師在教學設計時要認真想一想,為什么要這樣設計,設計要達到什么目的?怎樣做到教學設計自然有效的延伸?只有不斷積累數學教學設計的知識,才能創造出適宜學生領悟的,真正為數學教學服務的教學活動。