實數集到時標上的概念推廣的若干原則

趙莉莉

(云南大學 數學與統計學院, 昆明 650091)

微分方程與差分方程在理論與實際應用上具有相同的研究價值，探究微分方程與差分方程解的存在性與唯一性一直是研究熱點，取得了不少的研究成果[1-3], 但是分別研究這兩類方程又會在無形之中加大工作量，時標理論很好地解決了這一問題，它能將兩者有機地統一起來，只需將實數集上的概念推廣到時標上，建立時標上相應的理論，當時標退化為實數集和整數集時，所得到的理論就分別是微分方程和差分方程中的理論.因此，將實數集上的概念推廣到時標上是有意義的.

如果將定義在實數集上的某類函數推廣到了時標上，但在時標上卻找不到這種函數的例子，那該定義的推廣就是毫無意義的，所以，從實數集到時標上的概念推廣，第一個應該遵循的原則是—推廣后的概念是良定義.

2.1 良定義

在筆者的以前的論文中[4]已經將加權偽概周期函數的概念推廣到了時標上，并在時標上討論了這類函數的一系列性質，得到了時標上一階動力方程的加權偽概周期解的存在性定理，使得在時標上探討動力系統的加權偽概周期解的存在性成為了可能，為了佐證所推廣的定義是合理的，本文將給出時標上加權偽概周期函數的例子.

定義1[5]實數集的任意一個非空閉子集稱為一個時標.稱時標T是一個概周期時標，是指Π∶={r∈∶t±r∈T,?t∈T}≠{0}.

注1 容易看出0∈Π,即Π并非空集，故由定義1可得：稱時標T是一個概周期時標，是指?r≠0,使得對于每一個t∈T,都有t±r∈T成立.

定義2[4]稱u∶T→[0,+∞)是一個權函數，是指u在T上局部可積，且幾乎處處為正.用U表示時標上全體權函數構成的集合.

定義3[4]設u∈U∞.稱一個連續函數f∶T→n是加權偽概周期函數，是指：f可以表示為f=φ+ψ,其中φ∈AP(T,n)是一個概周期函數，而ψ∈PAP0(T,n,u).定義函數空間PAP0(T,n,u)如下：

從T映射到n的全體加權偽概周期函數構成的集合用PAP(T,n,u)表示.定義3將加權偽概周期函數的概念從實數集上推廣到了時標上.

令h(t)=sin(πt)e-|t|,則h(t)∈BC(T,).由

可得

從而

即h(t)=sin(πt)e-|t|∈PAP0(T,,u),再考慮到g(t)=cos(πt)是該時標上的概周期函數，所以

f(t)=cos(πt)+sin(πt)e-|t|∈PAP(T,,u).

2.2 一致性

實數集是時標的特例，將實數集上的概念推廣到時標上之后，當時標退化為實數集時，所得到的概念應該與實數集上的概念一致.

在本小節中, 將以全局指數穩定性為例進行探討.在時標上討論如下的一階微分方程組

(1)

其中系統(1)的初值為

近幾年來，關于時標上各類微分系統的各類解函數的全局指數穩定性的研究,已經取得了不少的成果[6-8].若用這些文獻中所采用的方法, 定義系統(1)解函數的全局指數穩定性，其定義如下.

其中

當時標退化成實數集時，定義4相應地退化為定義5.

其中

但是實數集上全局指數穩定的定義[9-11], 應是定義6.

其中

顯然，對于每一個δ∈[-s,0]，都有e-λ(t-δ)≤e-λt成立，反之卻不一定成立，即定義5比定義6強，這是不合理的，不妨修改定義4如下.

其中

當時標退化為實數集時，定義7也就退化成了定義6.采用定義7的方法，也可以定義時標上其它微分系統解函數的全局指數穩定性.

首先證明Π=.由時標的構造，易得?Π.?r∈Π,因為0∈T,所以r∈T,即Π中的每一個常數都可以表示成的形式,其中k是一個整數，n是一個正整數.現證明n只能取1，即Π?.若不然，因為?Π，且Π關于實數的加法與減法都是封閉的，所以?n0≥2,使得又考慮到從而再考慮到由時標的構造，存在正整數n1,使得即又因為所以再考慮到n1≠1,否則又因為所以由時標的構造，這是不可能的，從而再次由時標的構造可得存在正整數n2,n3,使得從而即n2+n3=n2n3,由上式可得n2,n3不能同為奇數，也不可能一個是奇數一個是偶數，只可能同為偶數.所以存在正整數k1,使得即但是矛盾，故n只能取1，即Π?，從而Π=.

若f(t)=sint為T上的周期函數，則?k0>0,k0∈=Π,使得?t∈T,有sin(t+k0)=sint成立.因為1-k0∈T,所以

sin1=sin(1-k0+k0)=sin(1-k0).

(2)

又因為-1-k0∈T,所以

-sin1=sin(-1)=sin(-1-k0+k0)=sin(-1-k0)=-sin(1+k0).

即

sin1=sin(1+k0).

(3)

由(2)式與(3)式可得：sin(1-k0)=sin(1+k0)，即cos1sink0=0,也就是sink0=0.又考慮到，找不到l0∈,使得k0=l0π，故sink0≠0，矛盾，從而f(t)=sint不是T上的周期函數.

時標理論不僅能將微分系統與差分系統有機地統一起來，它還能涵蓋許多混合型系統，在理論與實際應用上都具有極強的價值，因此將實數集上的概念推廣到時標上，建立時標上相應的理論是有意義的.首先，將實數集上的概念推廣到時標上，必須保證推廣后的定義是良定義，否則這樣的推廣是毫無意義的; 其次，推廣到時標上的定義，當時標退化為實數集時，應與實數集上的定義一致，只有這樣，在時標上獲得的結論，才能涵蓋在實數集上已經獲得的結論，推廣的定義才是有價值的.函數是微積分學的主要研究對象，而要深刻認識一個函數，必須了解它的幾何性質，因此，考慮定義在實數集上函數的幾何性質，能否被時標繼承下來也是有意義的.實數集上函數的單調性、有界性都能被時標繼承下來，但奇偶性與周期性卻不一定能被時標繼承下來.

致謝作者非常感謝參考文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.