摘 要:辨析初等數論中若干問題:0是否為一位數;自然數的分類;佩亞諾(G.Peano)的自然數公理;數學歸納法;前 個自然數中 的倍數的個數公式等。
關鍵詞: 一位數;自然數;自然數公理
中圖分類號:G623.5 文獻標識碼:A 文章編號:1002-7661(2012)15-0050-01
0.引言
1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》(GB3100~3102-93)《量和單位》(11-2.9第311頁)規定了自然數包括0,具有其合理性,但也帶來一些爭議,以下就有關“0”及由其引起的一些問題做些剖析。
1. 0并非一位數。
我們說一個數是 位數,應是:該數為非負整數,占有個數位且首位非0。如果沒有“首位非0”的規定,一個數是幾位數就說不清楚了。因此最小的一位書應該是1而不是0[1]。
2.自然數的分類。
小學教材都把自然數分為:1;質數;合數;三類?,F在自然數集合有了0,則應該分為四類。0單獨作為一類。
3.自然數公理。
1889年,意大利數學家佩亞諾(G.Peano)建立的自然數公理:
“這里要使用兩個形式符號:1和1",它們要滿足以下5條公理:
(1)1是自然數;(2)每個自然數a都有一個后繼數a";(3)1不是任何自然數的后繼數;(4)若a"=b"則a=b(5)(歸納公理)自然數的某個集合若含1,而且如果含一個自然數a就一定含a" ,那么這個集合含全體自然數”
現在自然數集合有了0,則以上公理中的1全得改為0。
4.數學歸納法。
我們知道,佩亞諾(G.Peano)建立的自然數公理是數學歸納法的邏輯依據,現在公理改了,數學歸納法也得相應更改,以往奠基是證明n=1時命題真,現在得改為證明n=0時命題真。
5.前a個自然數中n的倍數的個數。
以前,自然數集合中沒有0,則前a個自然數中n的倍數的個數為■ ,現在自然數集合中有了0,則前a個自然數中 n的倍數的個數應為1+■ ,因為現在前a個自然數應該是:0,1,2, ……,a-1。
以下是[2]的一道例題:
前100個自然數中,既不是2的倍數,也不是3的倍數,還不是5的倍數的數有多少個?
解 前100個自然數中,
2的倍數有■=50(個),3的倍數有■=33(個),5的倍數有■=20(個),同時是2和3的倍數有■=16(個),同時是3和5的倍數有■=6(個),同時是2和5的倍數有■=10(個),同時是2,3,5的倍數有■=3(個),故既不是2的倍數,也不是3的倍數,還不是5的倍數的數有100-(■+ ■+ ■)+(■+ ■+■)- =100-(50+33+20)+(16+6+10)-3
=26(個)。
本題默認前100個自然數為:1,2, 100。由于100是2的倍數(也是5的倍數),因此在計算時用容斥原理把它排除了。而如果認定前100個自然數為:0,1,2, 99,則由于0是2的倍數(也是3、5的倍數),因此在計算時用容斥原理同樣得把它排除,因此兩種認定,結果是一樣的。但有時結果卻不一樣。
用容斥原理時沒排除掉,后面的解法中,把2001換成0了,由于0是5的倍數(也是7的倍數),因此用容斥原理時排除掉了。
把0當作自然數,引起了不少爭議問題,主要原因是小學數學中一直沒把0當作自然數,建議小學教材中要強調“0是自然數”。
參考文獻
[1]張奠宙等.小學數學研究[M].北京:高等教育出版社,2009.1,37-38
[2]趙繼源.初等數論[M].南寧:廣西師范大學出版社,2001.9,51-52