運籌學中的影子價格初探

【摘要】影子價格在實現資源的最優配置中有廣泛應用，本文通過生產中的實例引出影子價格并給出其定義，進而介紹影子價格的計算方法和實際應用。

【關鍵詞】影子價格；對偶線性規劃；資源配置

一、引言

影子價格的概念最早由荷蘭當代著名經濟學家丁伯根提出，可通過數學方法計算得出。影子價格反映了具有某種經濟結構的系統，有限資源得到最有效利用時資源的邊際價值。影子價格在企業管理、經營決策、資源分配和技術經濟分析中，能提供科學的定量依據。

本文由資源利用問題中資源的估價引出影子價格，給出資源影子價格的定義，進而介紹影子價格的計算方法和實際應用。

二、影子價格的引例

例1：金融危機后，某企業業績下滑，經討論決定中止某條虧損生產線的生產，這便出現相當大的過剩生產能力。該企業經理考慮在某個計劃期內，用過剩的生產設備A1，A2，A3生產B1，B2，B3三種產品。按生產工藝要求，各種產品每一件在各設備上所需加工的工時數、生產每件產品的利潤如表1所示。該企業銷售部門預測，這三種產品的銷售潛力超過最大生產率。該企業生產管理部門如何安排生產計劃，才能取最大的總利潤？

問題分析：

決策變量：計劃期內產品B1，B2，B3的生產量為x1，x2，x3。

目標函數：max s=30x1+12x2+15x3，總利潤最大。

這樣就得到一個運籌學中的線性規劃問題（Ⅰ）。

該企業經理獲知供應部門提供的最新市場信息，在計劃期內，產品B1，B2，B3的原料供應可能出現短缺，而庫存的原料尚存不多。經銷售部門預測，利用設備A1，A2，A3承包外加工，市場潛力較大。據此，該企業經理從另一角度提出利用過剩生產設備的計劃方案。不用設備A1，A2，A3生產B1，B2，B3產品而用它們承包外加工。那么各設備每個加工工時如何估價，既使獲得的加工利潤不低于生產B1，B2，B3產品時獲得的最大利潤，又具有市場競爭力呢？對各設備的估價問題便又得到一個與線性規劃問題（Ⅰ）密切相關的對偶線性規劃問題（Ⅱ）。

決策變量：設備A1，A2，A3每工時的估價為y1，y2，y3。

目標函數：min z=500y1+350y2+150y3總的加工利潤最少，具有最大的市場競爭力。

約束條件：9y1+5y2+3y3≥30

3y1+4y2≥12

5y1+2y3≥15

承包外加工獲利不低于生產相應產品。

y1≥0；y2≥0；y3≥0為非負約束。

很明顯，當max s=min z時，該企業經理認為，這兩種考慮的方案具有相同的經濟效果，都是最優方案。該企業經理便可根據原料、產品、外加工市場的具體情況，采用相應的最優方案。

從經濟意義上講，對偶線性規劃問題（Ⅱ）提出的是一個確定設備每個加工工時的估價問題。這個估價與通常商品的價格是不同的。商品價格隨價值量，市場供給與需求量情況，以及有關方針與政策等的變化而變化，而這個估價僅與企業的經濟結構有關。當企業的經濟結構發生變化時，獲利不低于生產相應產品的同一臺設備加工工時的估價就會隨之而變。它如同在該企業特定的經濟結構中該臺設備的影子。故稱其為該臺設備加工工時的影子價格。

三、影子價格的定義

具有某經濟結構的系統中，所謂投入者均成為資源，包括人力、物力、財力、時間等。例如，在例1中設備A1，A2，A3的有效工時便是資源。線性規劃是解決在具有某種經濟結構的系統中，如何合理利用有限的資源，使該系統的經濟效益達到最優的一種經濟數學方法。

例2（資源利用問題）在某種經濟系統中，利用m種資源生產n種產品。各種資源的利用限度，各種產品的單位利潤以及各種產品對各種資源的單位消耗如表2所示。問：各種產品分別產出多少才能使系統獲得最大利潤？

相當于某個具體約束條件∑nj=1aijxj≤bi的資源Ai的影子價格是，對這一約束條件右端項bi每增加一個單位，線性規劃問題（Ⅲ）其他數據保持不變時，產生的目標函數最優值的變化量。

根據影子價格的定義，它反映了在該系統特定的經濟結構中，有限資源得到最優利用時，資源Ai的邊際價值。

資源Ai的影子價格為零，即資源Ai在資源最優利用時的邊際價值為零，意味著，增加資源Ai不會提高整個系統的最大利潤。資源Ai對該系統最有生產計劃而言是長線資源。

資源Ai的影子價格為正數，即資源Ai在資源最優利用時的邊際價值為正數，意味著增加資源Ai會提高整個系統的最大利潤。資源Ai對該系統最優生產計劃而言是短線資源。

四、影子價格的計算

假設線性規劃問題（Ⅲ）的對偶線性規劃問題的最優解是Y*=（-λ*1，-λ*2，…，-λ*m）。根據對偶定理知：maxs=∑mi=1biy*i

當資源Ai的最大限度bi增加一個單位，而線性規劃問題（Ⅲ）中其他數據保持不變時，根據maxs=∑mi=1biy*i知道最大利潤將增加y*i。

根據資源的影子價格的定義，資源Ai的影子價格就等于y*i。這樣，線性規劃問題（Ⅲ）通過maxs=∑mi=1biy*i把最大利潤表達成各種資源所表示的價值之和。線性規劃問題（Ⅲ）中各資源的影子價格就是其對偶線性規劃問題的最優解。

線性規劃問題（Ⅲ）中引進非負松弛變量化為標準形（記為（Ⅳ））。

目標函數：mins′=-∑nj=1cjxj

約束條件：∑nj=1aijxj+xn+i=bi（i=1，2，…，m）

xj≥0（j=1，2，…，n，n+1，…，n+m）

用單純形法解得線性規劃問題（Ⅳ）的最優解。其最優基為B*，松弛變量xn+i的檢驗數為λ*i。（i=1，2，…，m）

根據線性規劃的對偶性質：在互為對稱型對偶的兩個線性規劃中，如果其中一個問題m個線性不等式約束條件中均引入非負松弛變量化成等式約束，那么，最優基中松弛變量對應的檢驗數的相反數構成另一個問題的最優解。那么，線性規劃問題（Ⅲ）的對偶線性規劃問題的最優解Y*就是最優基B*中松弛變量檢驗數的相反數。即Y*=（-λ*1，-λ*2，…，-λ*m）。

這樣，資源利用問題的線性規劃（Ⅲ）中，資源的影子價格在其標準形的線性規劃問題（Ⅳ）的最優基B*的單純形表中體現出來，可見沒有最優化便談不上資源的影子價格。線性規劃問題（Ⅲ）中資源的影子價格可以用線性規劃的單純形法來計算。

五、影子價格的應用

影子價格為企業管理、經營決策和技術經濟分析提供科學的定量依據，大致有如下幾方面的應用：

1、影子價格是對現有資源在實現最大利潤時的一種估價。在企業經營決策中，可以從資源利用的角度，實現資源價格的預測。

2、影子價格反映了企業資源短缺的程度。資源的影子價格是資源的邊際價值。它反映了在具有某種經濟結構的企業中，短缺的資源與其短缺的程度。

3、影子價格反映企業的資源短缺程度，為企業決策部門提供使企業獲得更大利潤的定量依據，從而指出該企業發揚優勢的方向。

4、資源供應部門和同類型企業橫向經濟聯合體的決策部門，以同類企業相同資源不同的影子價格為定量依據，指導短線資源的擇優分配。

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