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朱 晟
(溫州大學數理學院，浙江 溫州 325035)
1986 年，Gage 在文獻[1]中研究了平面中的曲線收縮流，它會把平面中的凸曲線光滑地收縮為一個圓點.研究曲線收縮流的方法為后續研究高維曲率流提供了基礎.近年來人們對曲線流在演化過程中保周長和保面積的性質進行了探討，有相當多的論文發表，例如文獻[2-6]等.隨著研究的不斷深入，很多學者做了一些保長度和保面積之間的線性插值曲線流，例如文獻[7-10]等.
Tsai 等[5]介紹了兩種曲線流，即保長度流
和保面積流
在此基礎上，本文考慮了一個線性插值流：
其中0 ≤λ≤ 1,α≥ 1.筆者研究推導了曲線流（3）下幾何量的發展方程，并證明了本文的主要定理，即曲率的高階導數的有界性.
本節列出了主要定理證明中所需的發展方程和基本結論，它們的證明都是直接的.曲線流方程中切向量部分只影響曲線的參數表示，因此方程（3）等價于下面的一般形式：
有如下的發展方程.
引理1 在曲線流（5）下，曲率k，面積A，周長L滿足方程：
利用文獻[1]的方法進行論證.為了敘述方便，引入以下的符號：
證明：首先利用演化方程（6）有：
做變量代換，令Wμkτ′
利用k′，k，A，L的有界性以及Peter-Paul 不等式，對等式（10）右邊的最后兩項進行放縮，可得：
和
其中：
對于等式（10）右邊的第一項直接放縮得到：
對等式（11）右邊的最后四項進行估計：
推論1 在區間[0,T) 上，k′有界.
證明：設f(x)在區間[a,b]上一階連續可導，則任意的x1,x2∈[a,b]，有：
令x2為f2(x)的最大值點，1x為f2(x)的最小值點，則：
將k′應用在不等式（13）中得到：
定理1 在區間[0,T)上，k(l),l≥ 3有界.
證明：先求k′對時間的導數，有：
利用引理3 類似的方法，設W=?μτk′，得：
其中，
則可以證明k(l),l≥ 4在區間[0,T)有界.證畢.
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