理解數學·理解學生·理解教學

李現勇

摘? 要：在“圓錐曲線”復習課的教學過程中，執教教師對《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求把握準確，對教材和教學內容理解深刻，對學情分析恰當. 在教學中，通過任務驅動，引領學生經歷了數學復習課的研究路徑；
通過橫縱對比、由此及彼，引導學生參與了提煉數學思想方法的完整過程；
通過對精選習題的分析和解決，幫助學生從多個角度建構了圓錐曲線的內在關聯，促進了學生數學思維的提升.

關鍵詞：圓錐曲線；
理解數學；
數學思維

課程改革背景下，我們越來越重視對學生進行學法指導，要教會學生學習需要一個抓手，而這個抓手可以是新授課，也可以是復習課. 筆者認為，復習課中的“復”不是簡單的重復，而是復盤，回首來時路，明晰下一步的學習方向；
“習”則是進一步學習，也是養成好的習慣，是一種方法的指引.

復習課到底該如何授課？“圓錐曲線”復習課給我們做了一個很好的示范. 復習課不僅要鞏固舊知、查漏補缺，更重要的是要基于對已有知識的回顧，幫助學生通過梳理、歸納建立結構化的知識體系，提煉具有普適性的學習方法，使學生能在不同的情境下進行遷移運用，從而發展數學思維，形成數學能力.

本節課中，執教教師對《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求把握準確，對教材和教學內容理解深刻，對學情分析恰當，課堂教學活動設計合理有序，教學實施過程流暢自然，課堂評價適時、用心. 在教學中，執教教師通過任務驅動引領學生經歷了數學復習課的研究路徑；
通過橫縱對比、由此及彼，引導學生參與了提煉數學思想方法的完整過程；
通過對精選習題的分析和解決，幫助學生從多種角度建構了圓錐曲線的內在關聯，促進了學生數學思維的提升. 整節課中，師生配合默契，學生在愉悅的課堂氣氛中積累了數學學習的經驗，感悟了數學智慧、數學美和數學精神，發展了邏輯推理、數學運算、直觀想象和數學抽象等素養.

執教教師的教學設計做到了理解數學、理解學生、理解教學，從呈現的精彩課堂教學中，可以看出其對教學內容進行了深入的研究. 深入帶來深刻，執教教師關注了教材內容及知識間的前后聯系，關注了學生接受和理解的程度，關注了學生的變化與成長，關注了知識之外的思想方法的教學，也關注了數學學科的育人價值.

一、理解數學

數學是一門科學，數學思維、數學抽象、邏輯推理等都是數學所特有的本質，數學是有價值的、自然的、抽象的.

1. 研讀教材，關注教材內容的前后聯系，理解數學是有價值的

教材是數學知識和數學思想方法的重要載體，圓錐曲線是高中解析幾何部分的核心內容，是一類重要的數學模型，其研究方法充分體現了解析幾何的基本思想. 圓錐曲線中包含了豐富的數學文化的內容，是進一步培養學生對數學的內在興趣和科學精神的良好載體. 以幾何中的“距離”為紐帶，以代數中的“運算”為方法，通過“運算中的不變性”發現圓錐曲線的幾何特征，給出圓錐曲線的定義. 圓錐曲線的“個性定義”幾何特征突出，而統一定義能兼顧“個性”與“共性”，能表明橢圓、雙曲線和拋物線之間的內在聯系. 對圓錐曲線性質的研究先直觀感知，再用方程進行論證，有利于培養學生的理性思維. 從教學設計中可以看出，執教教師把握了教學內容的本質，深刻認識了本單元的教學內容和本節課承載的重要價值.

2. 創設情境，以重溫名稱來源引出教學主題，理解數學是自然的

本節課伊始，執教教師引用了數學家梅內克繆斯沖擊數學難題時的發現，引出橢圓、雙曲線和拋物線本是同源，這是圓錐曲線的起源. 接著提出本節課的教學主題，即回顧、總結、提煉橢圓、雙曲線和拋物線的共性，這樣的情境貼近學生思維的最近發展區，讓學生一開始就能自然地融入本節課的學習中去.

3. 數學方法，重在提煉歸納的過程，理解數學是抽象的

這節課最大的難點就是引導學生更深層、更有高度地總結圓錐曲線的共性，提煉橢圓、雙曲線和拋物線共同的研究方法，找出研究解析幾何的普適方法. 執教教師以豐富的具體內容和實例作為支撐，設置了多步臺階，通過設置的問題和追問，激發學生進行數學抽象和歸納，使學生完整經歷了從特殊到一般、從具體到抽象的數學方法的提煉過程.

二、理解學生

1. 關注“雙基”，以學定教，理解學生是課堂主體

本節課從知識的回顧到方法的提煉再到問題的解決和反思總結，執教教師都做到了立足學生的基礎，結合教學目標，以學生為本，放手讓學生探究. 整節課任務的展示、研究方法的提煉、問題的解決都盡可能讓學生參與，調動學生學習的主動性和積極性，做到了尊重學生的主體地位，實現了設定的教學目標. 從整節課中學生的展示可以看出，授課班級學生有良好的表達和學習習慣，數學素養水平整體較好.

2. 關注差異，因材施教，理解學生的個體差異

本節課中，對圓錐曲線及直線和圓等幾何圖形的研究方法的提煉，使學生獲得對解析幾何基本思想的認識，是教學的難點. 執教教師充分理解和尊重學生的個體差異，讓學生相互補充、完善方法的歸納. 在最后的作業布置上，執教教師設置可供自主選擇的題目，讓不同層次的學生都能獲得鍛煉和提升.

三、理解教學

孔子有言：“教，上所施，下所效也.”教學要做到教師主導，引導學生主動參與課堂教學，使得課堂教學有新意、有創意、有深意. 有新意，就是要突破學生的認知，超出他們的預期；
有創意，就是要讓課堂有挑戰，探究有價值；
有深意，就是要體會數學所帶來的驚喜，感受數學的教育魅力.

1. 精心設置教學環節，使課堂教學有新意

自主學習不能放任自流、漫無邊際，應該是教師指導下的自主. 學生的自主，要有規則、有要求、有方法、有落實. 本節課中，執教教師設置了7個教學環節，環環相扣. 特別是精心設計的自主復習提綱，很有新意，自主復習提綱中共設置5個問題：（1）簡述橢圓、雙曲線和拋物線的主要內容；
（2）簡述橢圓、雙曲線和拋物線各自采用的研究方法；
（3）簡述橢圓、雙曲線和拋物線在研究方法上的共同點；
（4）簡述圓錐曲線和直線與圓在研究方法上的共性；
（5）簡述解析幾何問題研究的基本思想. 學習的本質不在于記住了哪些知識，而在于它觸發了你的思考. 執教教師通過這5個問題，引導學生學會自主復習，激發學生進一步思考，讓自主復習成為一種良好的學習習慣.

在知識回顧總結和方法歸納概括環節，設置展示交流活動，引導學生梳理、展示、交流、比較、總結、聯系、概括已有知識. 從學生已有的認知出發，給學生提供了課堂參與的機會和自我領悟的空間，讓學生在自主學習、展示交流、相互促進中深入理解知識及其中蘊含的思想方法，突破了學生的原有認知，提升了學生的認知層次.

2. 精心設計數學問題，使課堂教學有創意

我們見過很多復習課，以題為主，學生雖然進行了大量的習題訓練，但收效甚微. 題不在多而在精. 本節課中，執教教師只選擇了兩道例題，可謂精心之選.

例1? 已知直線l和橢圓C交于A，B兩點，定點M2，0，……

（1）∠AMO=∠BMO，]求……

（2）AM⊥BM，?求……

試把以上兩個幾何條件分別轉化為代數表達.

例1要求學生由已知題目中的幾何特征提煉其幾何意義，進而進行代數表達，這個題目屬于基礎題，學生通過此題，再次體會將幾何特征進行準確代數表達的方法，教學思路簡明清晰.

例2? 已知A，B為兩個定點，AB=2，?動點P滿足PA · PB=1，?求動點P的軌跡方程，并畫出圖形.

相較于例1，例2以卡西尼卵形線為背景，提出新問題，需要學生應用課堂中提煉出的思想方法加以解決. 對這種沒見過但又不是很陌生的題目的解決，可以讓理論落地，讓解析幾何的思想方法進一步得到實踐. 問題探究充滿挑戰，課堂教學也就很有創意.

3. 課堂適時評價點撥，使課堂教學有深意

當學生某個瞬間的好行為、好想法被教師發現并獲得肯定后，其就會在肯定中被激勵，好的習慣就會在激勵中被傳播，并在傳播中影響班級中的每名學生. 這就是評價帶來的影響，也是教育的魅力. 本節課的教學中，執教教師善于使用評價，其在學生上臺展示后會給出恰當、親切、真誠的評價. 例如，“你課前準備得很好，內容詳細、全面整齊，有一定的自主復習能力，講解大方，清楚流利”“這位同學講得很好，大家回答得也很好，看到大家這樣相互促進，老師很開心”“表格的方式更直觀清晰，箭頭的使用更清楚”. 這樣真誠的評價可以促進學生的思考，激勵學生不斷進步.

恰當的點撥如同點睛之筆，既給人情理之中的滿足，又給人意料之外的驚喜. 在本節課的教學中，執教教師采用適時點撥的教學方式，讓學生在對知識獲得深刻認識的同時，使理解更有深意. 數學中的那種豁然開朗，本質上就是因深刻認識事物而產生的快樂. 例如，“善于提問也是一種學習方法”“大道至簡”“這是一種統一美”“這是一種結構美”“這是一種邏輯美”“翻譯很重要，把幾何語言翻譯成代數語言，正因為有了文學語言的翻譯，才能讓世界了解我們中國燦爛輝煌的文化，也正是因為數學語言的翻譯，才讓人們更深刻地去認識自然規律，進而促進科技的發展”這樣恰到好處直抵人心的點撥，體現了執教教師深厚的知識底蘊，又給學生呈現了更廣闊的思維天地，同時會帶給學生驚喜和感動.

此外，執教教師非常注重數學文化和數學精神的滲透，通過介紹數學家梅內克繆斯、笛卡兒、卡西尼引導學生追求真理、勇于創新. 在總結環節，從數學智慧，到數學之美，到數學精神，再到自我成長，引導學生回歸自身. 教育的本質是自我教育，學習的本質是自我學習. 這就是有光的課堂，這就是有潤澤的課堂，也是能給學生帶去深遠影響的課堂.

四、優化建議

整節課中，學生集體回答的次數偏多. 建議執教教師根據復習內容，多設置些開放探究性問題，提升設計問題的思維含量. 當學生面對挑戰時，教師要舍得留出時間，讓學生深度思考，在生生碰撞、師生碰撞的過程中，不斷暴露學生的想法，激發學生參與課堂的積極性，使學生在合作探究中解決問題，培養學生的高階思維，提升學生深度學習的能力，發展學生的數學核心素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.