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第一章
事件與概率 一、內容提要 1.隨機試驗 在一組條件的實現下，對自然現象和社會現象的觀察或實驗統稱為試驗。對于隨機現象的試驗稱為隨機試驗，記為 E.隨機試驗具有以下特征：
?。?）在不變的一組條件下，可以重復多次進行； （2）每次試驗的可能結果不止一個，且能在試驗前明確所有可能的試驗結果； （3）每次試驗前不能肯定哪一個結果會發生，但每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個。
2.事件的概念 隨機試驗的每一個可能發生的結果稱為該試驗的基本事件或樣本點，記為 ? 。一個隨機試驗的所有基本事件的集合，稱為試驗的樣本空間，記為 ? ，即 } { ? ? ? 。
在一次隨機試驗中可能發生也可能不發生，而在大量的重復試驗中具有某種統計規律性的事件稱為隨機事件，記為 A , B ,…. 在每一次試驗中必然發生的事件，稱為該試驗的必然事件，記為 ? ；在任何一次試驗中必然不發生的事件，稱為該試驗的不可能事件，記為 ? 。必然事件包含試驗的所有基本事件，而不可能事件不包含任何基本事件。
3.事件之間的關系及運算
?。?）如果事件 A 發生必然導致事件 B 發生，則稱事件 A 包含于事件 B 或稱事件 B 包含事件 A ，記為 A B B A ? ? 或 。
?。?）如果 B A? 且 A B? ，則稱事件 A 與 B 相等，記為 A = B 。
?。?）事件 A 與事件 B 至少發生一個的事件稱為事件 A 與 B 的和事件，記為 B A? 。類似地，n 個事件 A 1 ， A 2 ，…， A n 至少發生一個的事件稱為這 n 個事件的和，記為ininA A A A12 1?? ? ? ? ? ?，可列無窮多個事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，…的和，記為 ???1 iiA 。
?。?）事件 A 與事件 B 同時發生的事件稱為 A 與 B 的積事件，記為 B A? 或 AB。類似地， n個事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，同時發生的事件稱為這 n 個事件的積，記為?? ? ? ?nii nA A A A12 1???？闪袩o窮多個事件 ? ? , , , ,2 1 nA A A 同時發生的事件稱為 ? ? , , , ,2 1 nA A A 的積，記為 ???1 iiA 。
?。?）事件 A 發生而事件 B 不發生的事件稱為事件 A 與 B 的差，記為 A—B 或 B A 。
?。?）如果事件 A 與事件 B 不能同時發生，即 ? ? AB ，則稱事件 A 與 B 是互不相容的，此時B A? 可表示為 A+B 。類似地，如果 n 個事件nA A A , , ,2 1? 中， ? ? j i A Aj i? ? ? , ，則稱這 n 個事件是兩兩互不相容的。如果可列無窮多個事件 ? ? , , , ,2 1 nA A A 中， ? ? j i A Aj i? ? ? , ，則稱事件 ? ? , , , ,2 1 nA A A 是兩兩互不相容的。
?。?）如果事件 A 與事件 B 必然有一個發生，但不能同時發生，即 ? ? ? ? B A B A ? ? , ，則稱事件 A 與 B 互為對立事件，記為 A B ? （或 B A? ）。顯然， ? ? ? ? ? A A A A A A ? ? , , 。
由（6），（7）看出，若 A 與 B 是對立事件，則 A 與 B 必為互不相容事件；反之，不一定成立。
?。?）事件的運算法則
?、俳粨Q律
. , BA AB A B B A ? ? ? ?
?、诮Y合律
? ? ). ( ) ( ), ( BC A C AB C B A C B A ? ? ? ? ? ?
?、鄯峙渎?/p>
? ? ). ( ) ( ) ( , C A B A C B A AC AB C B A ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?、軐ε悸?/p>
? ? ? ?niiniiniiniiA A A A1 1 1 1,? ? ? ?? ? . 4.隨機事件的概率 （1）刻畫隨機事件 A 在試驗中發生的可能性大小的數值稱為隨機事件 A 的概率，記為 P( A ).必然事件的概率等于 1，即 ? ? 1 ? ? P ；不可能事件的概率等于 0，即 0 ) ( ? ? P ；隨機事件 A 的概率：0≤ P ( A )≤1. （2）事件的頻率及其穩定性：設事件 A 在 n 次試驗中發生了 n A 次，則稱比值nn A為隨機事件A 在 n 次試驗中所發生的頻率，記為 ) (A f n .即nnA fAn? ) ( . 實踐證明，當試驗次數 n 充分大時，隨機事件的頻率常在一個確定的數值 p 附近擺動，而且一般來說隨著試驗次數的增多，這種擺動的幅度愈變愈小，稱此為隨機事件頻率的穩定性。
?。?）概率的統計定義：若隨著試驗次數 n 的增大，事件 A 發生的頻率 ) (A f n 在〔0,1〕上某一個數值 p 附近擺動，則稱 p 為事件 A 的概率，記為 ? ? p A P ? . （4）概率的一般定義：設隨機試驗 E 的樣本空間為 Ω ，對于 E 的每一個隨機事件 A 都與一個確定的數值 P ( A )對應，如果 P ( A )滿足下列條件：
?、?≤ P ( A )≤1； ② ? ? 1 ? ? P ；
?、蹖τ趦蓛苫ゲ幌嗳菔录?A 1 ， A 2 ，…， 有
? ????? ? ?? ?1 1 1 1), ( ) ( , ) ( ) (kkkknkknkkA A P A P A P? ? 則稱 P(A) 為事件 A 的概率。
5.古典概型 如果隨機試驗具有下述特征：
?。?）所有可能的試驗結果只有有限多個，即其基本事件只有有限多個； （2）試驗中每個基本事件的發生是等可能的，則稱這種隨機試驗為古典概型。
設隨機試驗的基本事件總數為 n ， A 為一隨機事件，它包含 k 個基本事件，則稱比值nk為隨機事件 A 的概率， 即
中基本事件總數中包含的基本事件數?? ?AnkA P ) ( . 6.概率加法公式 （1）對任意事件 A 與 B ， 有
). ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P ? ? ? ?
?。?）對于互不相容的事件 A 與 B ， 有
). ( ) ( ) ( B P A P B A P ? ? ?
?。?）對于任意 n 個事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，
有
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?ni n j i n k j innk j i j i iniiA A A P A A A P A A P A P A P1 1 12 111). ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ? ?? （4）對于任意 n 個兩兩互不相容事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，即 ), ( j i A Aj i? ? ? ，
有
. ) ( ) (1 1?? ??niiniiA P A P ?
?。?）對立事件的概率之和等于 1， 即
) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( A P A P A P A P ? ? ? ? ， . （6）若在試驗中， n 個事件 A 1 ， A 2 ，…， A n 互不相容，且 ?niiA1 ?? ? ，則這些事件概率的和等于 1， 即
???niiA P11 ) ( . 7.條件概率 設 A ， B 是同一隨機試驗的兩個事件，且 P( A )>0，則稱 ) () () | (A PAB PA B P ?
為事件 A 已發生的條件下事件 B 發生的條件概率。
8.事件的獨立性 （1）兩個事件的獨立性：若 P ( AB )= P ( A ) P ( B )，則稱 A 與 B 是相互獨立的。
若 P( A )>0， P ( B )>0，則 A 與 B 相互獨立的充分必要條件是 . )] ( ) ( [ ), ( ) ( A P B A P B P A B P ? ?
若 A 與 B 是相互獨立的，則 A 與 B ， A 與 B ， A 與 B 也都相互獨立。
? ?, 與任何事件相互獨立。
?。?）多個事件的獨立性：對于三個事件 A ， B ， C ，若下列各等式同時成立，則稱它們相互獨立。
P ( AB )= P ( A ) P ( B )； P ( BC )= P ( B ) P ( C ); P ( AC )= P ( A ) P ( C ); P ( ABC )= P ( A ) P ( B ) P ( C ). 若前三個等式成立，則稱 A ， B ， C 兩兩相互獨立。
對 n 個事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，若對于所有可能的組合 1≤ i < j < k ≤ n ， 有
) , , 2 , 1 , , ( ), ( ) ( ) ( n j i j i A P A P A A Pj i j i? ? ? ?
) , , 2 , 1 , , , ( ), ( ) ( ) ( ) ( n k j i k j i A P A P A P A A A Pk j i k j i? ? ? ? ?
…… ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 n nA P A P A P A A A P ? ? ? ， 則稱 A 1 ， A 2 ，…， A n 相互獨立。若只有第一個等式成立，則稱 A 1 ， A 2 ，…， A n 是兩兩相互獨立的?？梢?n 個事件相互獨立必定兩兩獨立，反之未必成立。
?。?）試驗的獨立性：若試驗 E 1 的結果的發生與試驗 E 2 的結果的發生是獨立的，則稱試驗 E 1
與 E 2 是獨立的。若在同樣的條件下，重復做同一試驗，且各次試驗是相互獨立的，則稱為重復獨立試驗。
9.概率的乘法公式 （1）對任意兩個事件 A ， B
有
) 0 ) ( ( ), ( ) ( ) ( ? ? A P A B P A P AB P
) 0 ) ( ( ), ( ) ( ) ( ? ? B P A B P B P AB P
?。?）對于相互獨立的兩個事件 A， B
有
). ( ) ( ) ( B P A P AB P ?
?。?）對于任意 n 個事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，若 , 0 ) (2 1?nA A A P ?
有
). ( ) ( ) ( ) ( ) (1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 ??n n nA A A A P A A A P A A P A P A A A P ? ? ?
?。?）對于 n 個相互獨立的事件 A 1 ， A 2 ，…， A n ，有1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nP A A A P A P A A ?
10.全概率公式與貝葉斯公式 全概公式：若事件組 B 1 ， B 2 ，…， B n 滿足 （1）
B 1 ， B 2 ，…， B n 兩兩互不相容，且 P ( B i )>0，（ i =1,2,…, n ）； （2）
.2 1? ?nB B B ? ? ? ?
則對于任一事件 A
皆有
) ( ) ( ) (1iniiB A P B P A P??? 。
貝葉斯公式（逆概公式）：在全概公式中（1）、（2）成立的條件下，若 P ( A )>0， 有
). , , 2 , 1 ( ,) ( ) () ( ) () (1n jB A P B PB A P B PA B Pnii ij jj? ? ??? 11.貝努里概型 若隨機試驗滿足兩個條件：
?。?）每次試驗只有兩個可能結果 A 及 A ，且 P ( A )= p ， ); 1 0 ( , 1 ) ( ? ? ? ? ? p q p A P
?。?）
n 次實驗中，各次試驗相互獨立。
則稱這樣一種概型為 n 重貝努里概型。
在貝努里概型中， n 次試驗中事件 A 恰好發生 k 次的概率由以下公式給出 ) , , 2 , 1 , 0 ( , ) ( n k q p C k Pk n k kn n? ? ??， 此式也可稱為二項概率公式。
有些試驗結果雖不止兩個，但根據問題的性質，仍可歸結為貝努里概型。如考察電子管壽命，它當然可取不小于零的任意數值，但是，若把壽命大于 500 小時的作為合格品，其余為次品，就可認為是兩種不同的結果，屬貝努里概型。
二、要求 1.了解概率論與數理統計的研究對象，內容及方法。
2.掌握隨機試驗，樣本空間，隨機事件等概念。
3.熟悉事件之間的關系及運算，并能恰當地用事件表示實際問題。
4.正確理解隨機事件的概率的概念，熟記概率的性質。
5.掌握古典概型的概念，能熟練地計算古典概型的幾類基本問題。
6.掌握條件概率及與條件概率有關的公式：乘法公式，全概公式和貝葉斯公式，并能熟練地運用這些公式計算概率。
7.掌握隨機事件和隨機試驗的獨立性的概念，并能熟練地運用獨立性計算有關概率問題。
8.正確理解互不相容事件，對立事件，獨立事件的概念及三者之間的關系。
三、例題分析 例 1
一袋里有 5 個球，它們分別標號 1，2，3，4，5.試寫出下列隨機試驗的樣本空間。
?。?）從袋中一次任取兩球，記錄取出球的號碼； （2）從袋中任取一球，取后不放回袋中，再從袋中任取一球，記錄兩次取球的號碼； （3）從袋中任取一球，取后放回袋中，再從袋中任取一球，記錄兩次取球的號碼； （4）從袋中每次取一球，取后不放回，直到取到一號球為止。
分析（1）此試驗為一次取兩球，沒有取球的先后順序問題。從 5 個球中取出兩球的每一種取法為一個基本事件，不同取法的總數即為基本事件的總數，共有 1025? C 種，即樣本空間包含 10個基本事件。
?。?）此試驗為不放回抽取，兩次取得球的標號不能相同，且與取球的先后順序有關。第一次取球時袋中的 5 個球中的任何一個都可能被取到，第二次取球時，袋中剩下的 4 個球中的任何一個都可能被取到，按這種方式取球共有 2025? P 種取法，即樣本空間包含 20 個基本事件。
?。?）此試驗為有放回抽取，兩次取得球的標號可以相同，且每次從袋中取球時都有 5 個球。按這種方式取球，共有 5 2 種取法，即樣本空間含有 25 個基本事件。
?。?）此試驗有以下特點：每次取得的標號不同；每次取球時袋中的球都比前一次少一個，且袋中的任何一個球都可能取到；取到一號球試驗就結束。因一號球可能在第 i 次取到，( i =1,2,3,4,5)，所以共有 65 144342414? ? ? ? ? P P P P 種不同取法。
解
?。?）設( i , j )表示取到的兩球的號碼。( i , j =1,2,3,4,5).于是樣本空間可表示為 )} 5 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 {(1? ?
?。?）設( i , j )表示第一次取到 i 號球，第二次取到了 j 號球.( i , j =1,2,3,4,5).于是有 )} 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 2 , 5 ( ), 1 , 5 ( ), 5 , 4 (), 3 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 {(2? ? )} 5 , 5 ( ), 4 , 5 ( ), 3 , 5 ( ), 2 , 5 ( ), 1 , 5 ( ), 5 , 4 ( ), 4 , 4 ( ), 3 , 4 ( ), 2 , 4 ( ), 1 , 4 ( ), 5 , 3 ( ), 4 , 3 (), 3 , 3 ( ), 2 , 3 ( ), 1 , 3 ( ), 5 , 2 ( ), 4 , 2 ( ), 3 , 2 ( ), 2 , 2 ( ), 1 , 2 ( ), 5 , 1 ( ), 4 , 1 ( ), 3 , 1 ( ), 2 , 1 ( ), 1 , 1 {( 33? ? ）
?。?} ) 1 , 5 , 3 , 2 ( ), 1 , 3 , 2 ( ), 1 , 4 , 5 ( ), 1 , 3 , 5 ( ), 1 , 2 , 5 ( ), 1 , 5 , 4 (), 1 , 3 , 4 ( ), 1 , 2 , 4 ( ), 1 , 5 , 3 ( ), 1 , 4 , 3 ( ), 1 , 2 , 3 ( ), 1 , 5 , 2 ( ), 1 , 4 , 2 ( ), 1 , 3 , 2 ( ), 1 , 5 ( ), 1 , 4 )( 1 , 3 ( ), 1 , 2 ( ), 1 {( 44?? ? ）
?。?/p>
評注
?。?）確定試驗的樣本空間是計算概率的基礎，首先要弄清試驗的方式及試驗的基本事件的特征，其次要確定基本事件的總數，然后將所有基本事件一一列出；（2）確定基本事件總數時，如果不考慮順序，通常采用組合方法計算。如果考慮順序，在不放回抽樣情形，可采用無重復排列的方法計算；在放回抽樣情形，可采用重復排列的方法計算。
例 2
某地區有 100 人是 1910 年出生的，考察到 2000 年活著的人數。
?。?）試用樣本點的集合表示事件“只有 5 人活著”，“至少有 5 人活著”，“至多有 4 人活著”； （2）試判斷上述三事件中有無互不相容事件，對立事件。
分析
本題應先說明試驗的一個基本事件如何表示，進而確定要表示的事件由哪些基本事件構成。
解
?。?）設 i 表示到 2000 年有 i 個人活著，( i =0,1,2,…,100)， A ， B ，C 依次表示題中的三個事件，則它們可分別表示為 A ={5}， B ={5，6，…100}， C={0，1，2，3，4}.
（2）由于 ? ? ? ? BC AC , ，所以 A 與 C，B 與 C 都是互不相容的。又由于 }, 100 , , 2 , 1 , 0 { ? ? ?
有
C B ? ? } 4 , 3 , 2 , 1 , 0 {
所以 B 與 C 是對立事件。
評注
隨機事件實際上是樣本空間的一個子集，事件發生當且僅當子集中的一個樣本點發生。因此，可以把對事件的分析轉化為對集合的分析，利用集合間的關系來分析事件間關系。
例 3
設隨機事件 A 、 B 互不相容， ( ) , ( ) ....
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