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卷積應該是一個很容易理解的概念。如果從純粹數學上講，可能不容易，但把物理聯系起來，就容易了。
在振動學中有一個著名的杜哈美積分 (Duhamel"s Integral)，講的是對于受迫振動，我們可以將強迫力時程分解為一系列的脈沖的疊加，如果已知系統在單個脈沖下的響應，并注意到 s 時刻的脈沖只對時間 t >s 的響應有影響，那么整個系統在 t 時刻的響應就等于所有 t 時刻以前的脈沖各自單獨作用下的疊加。因為采用了疊加原理，系統必須是線性的。
用 h(u) 表示系統在單位脈沖作用下 u 時刻的響應。那么 s 時刻的脈沖在系統 t (t >s) 時刻產生的影響就等于 h(t-s)，將所有s(=0~t) 加起來，就得到整個系統在 t 時刻的響應。對于離散時間，就是相加；對于連續時間，變成積分。
這是一個工科學生對卷積的簡單理解。
卷積應用于很多學科，下面簡單講兩個在概率論中的應用：。
一個是隨機變量的和，另一個是更新過程中的更新定理。
1 隨機變量的和
兩個隨機變量的和的概率分布，可以表達成一個卷積積分。n 個隨機變量的和的概率分布，就是 n 重卷積。
2 更新過程中的更新定理
更新過程中一個比較棘手卻非常重要的量，是在給定時間內事件發生數的平均值 E[N(t )]，它也可以表示成它自身與更新間隔時間的概率密度函數的卷積，推導方法和前面強迫振動是一樣的。不過，這個時候人們通常叫它 II 型 Volterra 積分方程。為什么要用一個新名詞呢？如果借用前面振動學的概念，是因為這個時候脈沖響應函數和響應函數是同一個函數。
前面幾位大俠似乎沒有講到一個問題，即如何處理卷積。實際上，我們很少直接求解卷積。很多時候，我們發現，用 Fourier 或 Laplace 變換是一個更為簡單的辦法。這主要是因為，采用變換后，卷積變成了代數乘積。在振動學中，脈沖響應函數的變換改稱為頻響函數，而在概率論中，概率密度函數的 Fourier 變換稱為特征函數，Laplace 變換稱為矩生成函數。對于離散時間（時間 序 列 ）
或 離 散 隨 機 變 量 ， 我 們 多 采 用 它 們 的 生 成 函 數 (generating function)，在信號處理中，又叫 z 變換。
正是因為采用了 Fourier 變換，中心極限定理的證明成為一件不是那么難的事情。
嚴格數學的解釋（存在性），請讀曹大俠之大話卷積。
積 大話卷積
關于卷積的背景問題其實并不那么簡單，有人覺得卷積與傅里葉分析密切相關，可你是否知道他們之間到底是什么關系？卷
積的本質到底是什么？在這里從數學的角度展示卷積的強大威力。
要了解卷積的本質，首先要清楚傅里葉分析到底在說什么？它的核心問題是什么？傅里葉級數大家耳熟能詳，不需要我啰嗦了，然而你對傅里葉級數了解到何種程度？如果你僅僅局限于微積分里那點可憐的概念，恐怕你連傅里葉級數的毛也沒摸著，你只是知道了傅里葉級數的簡單定義而已。
要想真正了解傅里葉級數，就必須熟悉實變函數，因為在傅里葉分析中，一個最基本也是最重要的問題是：
傅里葉級數是否？ 收斂？按什么方式收斂？
這個問題在微積分里是無法搞清楚的，事實上，即使是一個連續函數，其傅里葉級數也可能在某些點發散，我們甚至可以構造出 Riemann 可積函數，其傅里葉級數是處處發散的。如果你辛辛苦苦把一個函數展開成傅里葉級數，卻發現它并不收斂，其內心是一種什么感受？大概如同從沒有電梯的二十層樓上屁顛屁顛地跑下來卻發現沒帶汽車鑰匙。眾所周知，Riemann 可積函數是一種性質比較好的函數（相對于積分區間幾乎處處連續，啥叫幾乎處處？微積分是不能告訴你的，想知道嗎？老老實實跟我學實變函數），即使是這樣的函數都不能保證傅里葉級數的收斂性，可見問題有多么嚴重。傅里葉分析是門比較古老的學問，但其中存在的許多問題直到上個世紀中葉依然是大家關注的話題，也正
是傅里葉分析中存在的諸多問題懸而未決，促使人們尋求新的方法，這正是泛函分析的萌芽之一。
賣了半天的關子，到底想說啥？稍安勿躁，一點耐心都沒有我還怎么講？我們就從收斂性問題說起，假設 f 是以 2π 為周期的可積函數（以什么為周期不是最重要的），其傅里葉展開為：
也可以寫成指數形式：
其中，
俺無法寫出積分上下限，反正你們都知道是個長度為 2π 的積分區間，現在的問題是如何判斷右端的級數是收斂的。
知道這叫什么吧？它稱為級數的部分和，我們的目標是把這個部分和表示出來，以便于判斷該部分和是否收斂。試圖把這個
級數的和求出來是徒勞的，你能做到的話，天下就是你的了，不過，我們可以把系數的積分式帶進級數，將得到：
還記得三角公式吧？知道方括號里的和怎么求嗎？如果不會，你還有機會，用指數形式的級數再試一次：
最后，這個和式會算嗎？如果還不會，你就剩下一個機會了，用你那聰明的腦袋對著南墻狠狠撞他十二下，就能喚起你中學時代的美好記憶了。
則
明白為什么要定義卷積了嗎？
現在的問題就變成了判斷上述積分是否收斂到 f(x )，事情似乎變得簡單了，令人無奈的是，上述積分未必收斂到 f(x )！那么，什么樣的函數具有收斂的傅里葉級數呢？按何種方式收斂？這個問題暫且放在一邊，我們知道很多情況下不收斂就夠了，因為要說清楚這個問題的話，需要超出經典微積分的范疇。如此說來，對于傅里葉級數不收斂的函數豈非無能為力？人類就是偉大，有的是辦法，S_k(x )不收斂，可以考慮部分和的平均，結果令人喜出望外，部分和的算術平均居然幾乎處處收斂！這個算術平均是什么呢？再來算一次。
將 D_k(x ) 帶入可以算出
于是
我們再次得到了一種卷積，Fejer 定理告訴我們，上述積分幾乎處處收斂到 f(x )。
人們將 D_k 稱為 Dirichlet 核，將 F_m 稱為 Fejer 核，上述卷積又稱為帶核的積分。事情到此結束了？非也，這才僅僅是開始，一門影響深遠的理論—積分算子理論從此拉開了帷幕。
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