概率與統計經典精講,課后練習二

　 概率與統計經典精講 課后練習 （ 二）

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　主講教師：程敏

　北京市重點中學數學高級教師

　 題一：在一次購物抽獎活動中，假設某 10 張券中有一等獎券 1 張，可獲價值 50 元的獎品；有二等獎券 3 張，每張可獲價值 10 元的獎品；其余 6 張沒有獎．某顧客從此 10 張獎券中任抽 2 張，求：

　(1)該顧客中獎的概率；(2)該顧客獲得的獎品總價值 X 元的概率分布列．

　題二：為防止風沙危害，某地決定建設防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．某人一次種植了 n 株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為 p，設 ? 為成活沙柳的株數，數學期望 3 E ? ? ，標準差 ?? 為62． （Ⅰ）求 n, p 的值并寫出 ? 的分布列； （Ⅱ）若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率．

　題三：某項考試按科目 A、科目 B 依次進行，只有當科目 A 成績合格時，才可繼續參加科目 B 的考試．已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現某人參加這項考試，科目 A 每次考試成績合格的概率均為23，科目 B 每次考試成績合格的概率均為12．假設各次考試成績合格與否均互不影響．

?。á瘢┣笏恍枰a考就可獲得證書的概率； （Ⅱ）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數為 ? ，求 ? 的數學期望 E ? ．

　題四：甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可 正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設每人面試合格的概率都是12，且面試是否合格互不影響．求：

?。á瘢┲辽儆?1 人面試合格的概率;

?。á颍┖灱s人數 ? 的分布列和數學期望．

　 概率與統計經典精講 課后練習 參考答案 題一：

　(1) 23 ；(2)見下表． X 0 10 20 50 60

　P 13

　25 115

　215

　115

　詳解：(1)該顧客中獎，說明是從有獎的 4 張獎券中抽到了 1 張或 2 張，由于是等可能地抽取，所以該顧客中獎的概率 P＝1 1 24 6 4210C C +CC＝ 3045 ＝23 ． ??????或用間接法，即P＝1－26210CC＝1－ 1545 ＝23 (2)依題意可知，X 的所有可能取值為 0,10,20,50,60(元)，且 P(X＝0)＝0 24 6210C CC＝ 13 ； P(X＝10)＝1 13 6210C CC＝ 25 ；P(X＝20)＝23210CC＝115 ； P(X＝50)＝1 11 6210C CC＝215 ；P(X＝60)＝1 11 3210C CC＝115 ． 所以 X 的分布列為：

　X 0 10 20 50 60 P 13

　25

　115

　215

　115

　 題二：

?。á瘢?6,2n p ? ? ， ? 的分布列為下表；（Ⅱ）2132． ?

　0 1 2 3 4 5 6 P

　164 664 1564 2064 1564 664 164 詳解：(1)由233,( ) (1 ) ,2E np np p ? ?? ? ? ? ? ? 得112p ? ? ，從而16,2n p ? ? ， ? 的分布列為 ?

　0 1 2 3 4

　5

　6 P

　164 664 1564 2064 1564 664 164 (2) 記 ” 需 要 補 種 沙 柳 ” 為 事 件 A ， 則 ( ) ( 3), P A P ? ? ? 得1 6 15 20 21( ) ,64 32P A? ? ?? ? 或15 6 1 21( ) 1 ( 3) 164 32P A P ?? ?? ? ? ? ? ? ．

　題三：

　(Ⅰ) 13．(Ⅱ) 83． 詳解：設“科目 A 第一次考試合格”為事件1A ，“科目 A 補考合格”為事件2A ；“科目 B 第一次考試合格”為事件1B ，“科目 B 補考合格”為事件2B

　(Ⅰ)不需要補考就獲得證書的事件為1 1A B ,注意到1A 與1B 相互獨立， 則1 1 1 12 1 1( ) ( ) ( )3 2 3P A B P A P B ? ? ? ? ? ． 答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為13． (Ⅱ)由已知得， ? ＝2，3，4，注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得 1 1 1 2( 2) ( ) ( ) P P A B P A A ? ? ? ?

　2 1 1 1 1 1 4.3 2 3 3 3 9 9? ? ? ? ? ? ?

　1 1 2 1 1 2 1 2 2( 3) ( ) ( ) ( ) P P A B B P A B B P A A B ? ? ? ? ?

　2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 4,3 2 2 3 2 2 3 3 2 6 6 9 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　1 2 2 2 1 2 1 2( 4) ( ) ( ) P P A A B B P A A B B ? ? ? ?

　1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1,3 3 2 2 3 3 2 2 18 18 9? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　故4 4 1 82 3 49 9 9 3E ? ? ? ? ? ? ? ? ，

　答：該考生參加考試次數的數學期望為83．

　 題四：

?。á瘢?8；（Ⅱ）

　? 的分布列為下表，期望是 1． ?

　0

　1 2 3 P 38 38 18 18 詳解：用 A，B，C 分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知 A，B，C 相互獨立， 且 P（A）＝P（B）＝P（C）＝12． （Ⅰ）至少有 1 人面試合格的概率是31 71 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) .2 8P ABC P A P B P C ? ? ? ? ? ?

?。á颍?/p>

　? 的可能取值為 0，1，2，3．

　 ( 0) ( ) ( ) ( ) P P ABC P ABC P ABC ?? ? ? ?

?。?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P C P A P B P C P A P B P C ? ? ＝3 2 31 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8? ? ?

　( 1) ( ) ( ) ( ) P P ABC P ABC P ABC ?? ? ? ?

?。?( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P B P C P A P B P C P A P B P C ? ? =3 3 31 1 1 3( ) ( ) ( ) .2 2 2 8? ? ?

　1( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P ABC P A P B P C ? ? ? ? ?

　1( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) .8P P ABC P A P B P C ? ? ? ? ?

　所以， ? 的分布列是 ?

　0 1 2 3 P 38 38 18 18 ? 的期望3 3 1 10 1 2 3 1.8 8 8 8E? ? ? ? ? ? ? ? ? ?