淺談“命題的否定”與“否命題”

[摘要]文章概述了“否命題”與“命題的否定”的區別和聯系，并對一些常見命題否定的制作做了詳細的介紹。

[關鍵詞]命題的否定；否命題；命題制作

在《離散數學》的教學中發現有許多學生對命題的否定與否命題兩個概念分不清楚，即使的有學生能夠區分開來，卻又很難正確地寫出命題的否定，下面筆者就此問題加以詮釋。

一、命題的“否命題”與“命題的否定” 是兩個不同的概念

首先，它們研究的對象范圍不相同，否命題僅針對假言命題（即若A則B）而言的，否命題是對一個假言命題的條件和結論都加以否定所得到的新命題（即若 則 ）。而對任意一個命題它的否定都是存在的．其次，從命題的真假來看，命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者必有一真一假，而假言命題的否命題則不然，與原命題的真值可能相同也可能相反．

二、幾類常見命題否定的制作

1．簡單命題的否定簡單命題是不能分解為更簡單命題的命題。常見的有：

(1)形如“A是B”或“A不是B”的 命題。 這類命題的否定為：“A不是B”或“A是B”。例如命題“e是無理數?！?的否定為“e不是無理數?！?/p>

(2)全稱命題和存在命題的否定

形如“所有A是B”的簡單命題稱全稱命題。形如“存在某一個A是B” 的命題是存在命題，其否定分別是 “存在某個A不是B”與“所有的A都不是B”。如“所有矩形是平行四邊形”的否定為“存在一個矩形不是平行四邊形”；命題“至少有一個質數不是奇數”的否定為“所有的質數都是奇數”；顯然全稱命題的否定是存在命題，存在命題的否定是全稱命題。

2．復合命題的否定

由簡單命題用邏輯聯結詞“非”、“且”、“或”、“若…則…”、“當且僅當”()聯結而成的命題稱為復合命題．復合命題的否定可用相應的命題定律來進行。

（1）命題 的否定

“ ”是對命題“P”的否定，命題“”與命題“P”的真假正好相反．故 “”的否定可用命題公式 來寫出．例如命題“不是每個人都是大學生?！钡姆穸ㄊ恰安⒎遣皇敲總€人都是大學生?！奔础懊總€人都是大學生?！?/p>

（2）聯言命題的否定

用聯結詞“且（）”聯結兩個命題P、Q構成的復合命題“”稱為聯言命題．聯言命題的否定可根據De Morgan定律“ ”來寫出。例如命題“我們去看電影并且房間里有六張桌子?！钡姆穸椤拔覀儾蝗タ措娪盎蛘叻块g里沒有六張桌子?！?/p>

（3）選言命題的否定

用聯結詞“或（）”聯結兩個命題P、Q，構成的復合命題“”稱為選言命題．與聯言命題類似，選言命題的否定可根據De Morgan定律“ ”來寫出。例如命題“張明是100米冠軍或是200米冠軍?！钡姆穸ㄊ恰皬埫鞑皇?00米冠軍且不是200米冠軍?！?須要說明的是由析取的定義知在命題中的“或”是指可兼或)

（4）假言命題的否定

用聯結詞“若…則…”聯結兩個命題P、Q，構成的復合命題“若P則Q ”稱為P、Q的假言命題．由命題定律： ，可寫出假言命題的否定．例如命題“如果爸爸去商店，就給小明買蘋果。 ”的否定是“爸爸去商店且不給小明買蘋果。 ”

（5）雙條件命題的否定

用聯結詞“當且僅當”聯結兩個命題P、Q，構成的復合命題“ ”稱為P、Q的雙條件命題．雙條件命題（ ）的否定可用命題定律： 或 來寫出，顯然只要否定“聯項”即可．例如命題 “三角形中三條邊相等是該三角形為正三角形的充分必要條件” 的否定為“三角形中三條邊不相等是該三角形為正三角形的充分必要條件”。

一般地，依據上述幾種基本形式命題否定的方法可以寫出更復雜命題的否定式．

[參考文獻]

[1]陳翼浦，趙曾．形式邏輯[M]．語文出版社．1996．

[2]張忠志．離散數學[M]．高等教育出版社，2000．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。