基于分數形導數的海陸相交互沉積土蠕變特性研究

高魯超，陳合德，何子睿，華 新，胡川開

(1. 東南大學 土木工程學院，江蘇 南京 211189；

2. 浙江交科工程檢測有限公司，浙江 杭州 311200；
3. 都城偉業集團有限公司，北京 100020；

4. 華設設計集團股份有限公司，江蘇 南京 210014)

沿海地區土體因沉積方式的不同大致分為海相沉積土、海陸相交互沉積土和陸相沉積土。相比之下，海陸相交互沉積土的含水率和孔隙比較低，而其抗剪強度和固結特性存在較大的差異[1]。針對不同特征的沉積土，諸多學者已開展了相應的研究。陳曉平[2]通過開展珠江三角洲沉積土的室內試驗，系統研究了土體固結對基本力學特性的影響；
拓勇飛等[3]通過宏微觀試驗，探討了湛江沉積性軟土的賦存規律及其內在結構的聯系；
張宏等[4]分析了長江口北側海陸相交互沉積土的基本力學特性；
秦愛芳等[5]研究了長江口淤泥質軟土次固結特性，分析荷載、超固結比、土性指標等對軟土次固結效應的影響。

海陸相沉積土具有明顯的蠕變特性，在長期荷載作用下易誘發變形和失穩病害。通常以Hooke彈簧、Newton黏壺、St. Venant塑性體為基本元件，由串聯或并聯組合來表征材料蠕變性[6-7]。李剛等[8]、YAN Zhen等[9]通過一維蠕變試驗分析大連海陸相交互沉積土的蠕變特性，建立了考慮沉積土主、次固結效應的蠕變方程；
劉伽等[10]亦采用一維蠕變試驗研究沉積土的蠕變特性，提出可描述該類土體蠕變特征的經驗模型；
雷華陽等[11]開展天津濱海軟黏土的三軸蠕變試驗，分析圍壓、加荷比以及排水條件對軟黏土蠕變特性的影響；
楊果岳等[12]開展壓實紅黏土三軸蠕變試驗，分析壓實紅黏土在不同圍壓、應力水平和排水條件下的蠕變特性。受區域性、沉積形式以及結構性等因素的影響，海陸相交互沉積土的蠕變特性存在較大的差異，建立合適的元件模型用于表征海陸相沉積土的蠕變行為亦是研究的關鍵。

經典的元件模型描述土體和巖石的流變行為，理想Newton黏壺本構關系的限制導致經典元件模型的精度受到了較大的影響[13]。有學者采用分數階導數元件代替經典Newton黏壺，在經典元件模型基礎上，建立了多種分數階元件模型用于分析土體和巖石等材料的流變特性[14-18]。然而，分數階流變模型計算過程復雜且參數較多，給實際工程應用帶來不便[19]。W. CHEN[19]提出了一種局部微分的分形導數，用于來描述材料的基本特性；
CAI Wei等[20]采用分數形微分理論改進經典的元件模型，用于表征黏彈性材料的蠕變行為，但該模型不能描述材料加速蠕變階段；
YAO Wenmin等[21]利用分數形導數模型分析不同含水率下的軟土夾層蠕變特性；
R. WANG等[22]采用分數形微分本構方程分析花崗巖的蠕變特性，其建立的模型能夠很好地模擬花崗巖蠕變的3個階段。分數形導數為分析海陸相交互沉積土的流變性提供新的思路，避免復雜的計算過程，又可以通過改變分數形階次來調整模型擬合精度。

筆者基于分數形導數理論，引入分數形黏壺替換Newton黏壺，根據各元件串并聯原則，建立一種描述海陸相沉積土蠕變特性的分數形蠕變模型，并結合室內三軸排水蠕變試驗和現有文獻結果來驗證所提的分數形蠕變模型的精度和合理性，以期為分析海陸相交互沉積土蠕變特性提供新的思路。

1.1 分數形導數

考慮時間因子的分數形局部微分形式如式(1)[20]：

(1)

式中：u為微分函數；
t為時間因子；
p為分數形階次。

CAI Wei等[20]提出的分數形導數黏壺(圖1)的應力應變關系為：

(2)

圖1 分數形導數黏壺Fig. 1 Fractal derivative muck pot

式中：σ(t)為應力；
ε(t)為應變；
η為黏滯系數。

考慮恒定荷載〔σ(t)=σ〕作用，該黏壺的應力應變關系為：

(3)

1.2 分數形蠕變模型

巖土材料典型蠕變曲線表現為3個階段，即初期階段、穩定階段和加速階段[23]。為構建表征蠕變變形階段的元件模型，引入分數形導數黏壺代替經典Newton黏壺，如圖2。

圖2 分數形蠕變模型Fig. 2 Fractal creep model

該模型由彈性體、黏彈性體和黏塑性體組成，根據各元件串聯和并聯原則，該分數形蠕變模型的應力和應變為：

(4)

式中：σ和ε分別為應力和應變；
“e”、“ve”和“vp”分別表示彈性體、黏彈性體和黏塑性體。

各元件應力和應變表示如下：

1)彈性體

彈性體應力-應變關系滿足胡克定律，即：

(5)

式中：E0為彈性體的彈性模量。

2)黏彈性體

黏彈性體由彈簧和分數形黏壺組成，即：

(6)

聯立得：

(7)

黏彈性體的應力-應變關系為：

(8)

式中：E1和η1分別為黏彈性體的彈性模量和黏滯系數。

3)黏塑性體

塑性體的應力-應變關系為[20]：

(9)

式中：σs為極限應力。

當σ≥σs時：

(10)

求解得：

(11)

式中：η2為黏塑性體的黏滯系數。

當σ<σs時：

εvp=0

(12)

聯立式(11)和式(12)，得：

(13)

聯立式(5)、式(8)和式(13)，得到分數形蠕變模型的應力-應變關系式為：

(14)

(15)

當p1=p2=1時，式(14)、式(15)退化為經典的Nishihara模型，即：

(16)

(17)

2.1 試驗概況

杭州灣沉積物形式以海陸相交互為主[24]，試驗土樣為現場鉆孔取得的原狀土，試樣取自杭州灣大橋南岸地區，取樣深度為25～30 m，土樣外觀表現為棕褐色，表面較粗糙，質較均勻，顯水平層理。土樣基本力學性質如表1，顆粒級配曲線如圖3。

圖3 顆粒級配曲線Fig. 3 Grain gradation curve

表1 土樣基本力學性質Table 1 Basic mechanical property of test soil

試驗設備采用的是TSZ-2全自動三軸儀，該儀器由軸向加載系統、圍壓控制系統和數據采集系統組成。由電腦自動控制整個試驗流程的進行，參照試驗的要求對試樣進行固結、剪切，并按照《土工試驗方法標準》[25]的要求停止試驗。

試驗在南京水利科學研究院土工試驗室進行，試樣直徑為39.1 mm，高度為8 mm，室內溫度維持在(20±1)℃范圍內，圍壓分別為100、200、300、400 kPa。首先進行試樣的三軸固結排水剪切試驗，確定不同圍壓下試樣的破壞偏應力qf，然后根據破壞偏應力qf確定蠕變試驗的加載等級Δq=qf/n，n為加荷級數，一般取n=4～6，開展試樣的三軸固結排水剪切蠕變試驗。加載等級方案如表2。

表2 試驗加載方案Table 2 Schemes of loading test

以軸向變形作為試驗的控制標準，當相鄰兩次(24 h)讀數差與從試驗開始到此時總共發生的蠕變量之比小于5%時，即可認為試樣變形穩定，停止試驗[26]。

2.2 試驗結果分析

圖4為試樣不同偏應力水平下的土樣蠕變曲線。由圖4可知，因未加載至破壞階段，試樣蠕變曲線分為初始階段和穩定階段，隨著偏應力逐漸增大，蠕變應變速率逐漸趨于零，表現為明顯的衰減蠕變特性，這與大連海陸相交互沉積土[8]的蠕變特性相似。

圖4 不同圍壓下土樣蠕變曲線Fig. 4 Creep curves of soil samples under different confining pressures

圖5為試樣不同時刻下的偏應力-軸向應變等時曲線。由圖5可知，不同時刻下，偏應力-軸向應變等時曲線均為一簇相似的非線性曲線，說明該地區黏土蠕變特性具有非線性特征，且與加載時間相關；
當圍壓逐漸增大時，偏應力-軸向應變等時曲線出現轉折，隨著偏應力的增大，軸向應變變化率逐漸降低，說明偏應力水平越高，非線性程度越高；
在排水條件下，試樣的黏塑性變形不明顯，軸向應變隨著偏應力增長率變化較??；
偏應力水平越高，等時曲線越接近應變軸。

圖5 不同圍壓下土樣偏應力-軸向應變等時曲線Fig. 5 Deviatoric stress-axial strain isochronous curve of soil sample under different confining pressures

筆者以300 kPa圍壓下的試樣蠕變曲線為例，對比經典三參數模型(Merchant模型)和四參數模型(Burgers模型)，驗證文中所提分數形蠕變模型的精度和有效性。此外，因文中試驗的蠕變曲線尚未出現加速變形階段，以大連海陸相交互黏土為例[9]，驗證蠕變模型在加速變形階段的適用性。Merchant模型和Burgers模型表達式分別如式(18)和式(19)：

(18)

(19)

圖6為不同偏應力下模型計算值與試驗值對比，表3為文中模型的參數取值。由圖6可知，不同偏應力下試樣蠕變變形趨勢大致相同，筆者所提出的蠕變模型能夠反映試樣蠕變的初始階段和穩定階段；
相比其他經典元件模型，蠕變初期，Burges模型略高于文中模型，這可能因為Burges模型考慮到初始階段的黏滯性所致；
隨著時間增加，文中模型的擬合精度要高于Burgers模型和Merchant模型。因此，文中模型能夠表征海陸相交互沉積土的蠕變變形。

表3 文中模型參數取值(圍壓300 kPa)Table 3 Parameters values in the proposed model

圖6 不同偏應力下軸向應變試驗值與計算值對比Fig. 6 Comparison between test values and calculated values of axial strain different deviatoric stresses

圖7為大連海陸相交互沉積土在不同圍壓下試驗值與模型計算值對比。由圖7可知，文中模型計算值與試驗值具有較高的相關性，擬合精度R2均在0.98以上；
當荷載超過極限偏應力時，土樣出現破壞階段，其計算值與破壞階段蠕變曲線一致，且誤差較小，表明文中模型可表征土樣破壞階段的蠕變變形。

1)基于分數形導數原理，引入分數形黏壺元件替代經典Newton黏壺，通過彈性體、分數形黏壺和塑性體的串并聯，建立了一種可表征海陸相交互沉積土蠕變變形的分數形蠕變模型。

2)對比寧波和大連海陸相交互沉積土的蠕變試驗，結果表明，筆者所提的蠕變模型能夠描述海陸相交互沉積土的蠕變變形；
相比經典蠕變模型，筆者所提模型擬合精度高，計算方法簡單。

3)海陸相交互沉積土受地域條件和外界環境等因素影響較大，研究成果可為研究海陸相交互沉積土的蠕變變形提供理論參考。