奧數-概率與統計師

　 點 考點 1 ：頻率與概率 一、考點講解：

　1．頻數、頻率、概率：對一個隨機事件做大量實驗時會發現，隨機事件發生的次數（也稱為頻數）與試驗次數的比（也就是頻率人總是在一個固定數值附近擺動，這個固定數值就叫隨機事件發生的概率，概率的大小反映了隨機事件發生的可能性的大?。?2．概率的性質：P（必然事件）= 1，P（不可能事件）= 0，0<P（不確定事件）<1． 3．頻率、概率的區別與聯系：頻率與概率是兩個不同的概念，概率是伴隨著隨機事件客觀存在著的，只要有一個隨機事件存在，那么這個隨機事件的概率就一定存在；而頻率是通過實驗得到的，它隨著實驗次數的變化而變化，但當試驗的重復次數充分大后，頻率在概率附近擺動，為了求出一隨機事件的概率，我們可以通過多次實驗，用所得的頻率來估計事件的概率． 二、經典考題剖析：

　【考題 1－1】（2004、成都鄲縣，3 分）某校九年級三班在體育畢業考試中，全班所有學生得分的情況如下表，那么該班共有_______人，隨機地抽取 l 人，恰好是獲得 30 分的學生的概率是_______，從表中你還能獲取的信息是__________________________

　 ___________ （寫出一條即可）

　 解：65；如：隨機抽了 1 人恰好獲得 24～26 分的學生的概率為 16

　【考題 1－2】（2004、貴陽，6 分）質量檢查員準備從一批產品中抽取 10 件進行檢查，如果是隨機抽取，為了保證每件產品被檢的機會均等．

　 （1）請采用計算器模擬實驗的方法，幫質檢員抽取被檢產品；

　 （2）如果沒有計算器，你能用什么方法抽取被檢產品．

　 解：（1）利用計算器模擬產生隨機數與這批產品編

　號相對應，產生 10 個號碼即可；（3）利用摸球游戲或抽簽等． 【考題 1－3】（2004、鹿泉，2 分）如圖 l－6－l 是一個經過改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個人球孔，如果一個球按圖

　 中所示的方向被擊出（球可以經過多次反射人那么該球最后將落人的球袋是（）

　 A．1 號球袋 B．2 號球袋

　 C．3 號球袋 D．4 號球袋

　 解：B 點撥：球走的路徑如圖 l－6－l 虛線所示． 三、針對性訓練：

　 1、在對某次實驗次數整理過程中，某個事件出現的頻

　率隨實驗次數變化折線圖如圖 l－6－2，這個圖中折線變化的特點是_______，估計該事件發生的概率為__________________.

　2．(2004，南山，3 分) 如圖 l－6－5 的兩個圓盤中，指針落在每一個數上的機會均等，那么兩個指針同時落在偶數上的概率是（

?。?/p>

　3．(2004，南山，3 分）擲 2 枚 1 元錢的硬幣和 3 枚 1 角錢的硬幣，1 枚 1 元錢的硬幣和至少 1 枚 1 角錢的硬幣的正面朝上的概率是（

?。?/p>

　4．(2004，漢中，3 分)小紅、小明、小芳在一起做游戲時需要確定做游戲的先后順序，他們約定用“剪子、包袱、錘子”的方式確定，問在一個回合中三個人都出包袱的概率是_________________ 5．(2004，貴陽，3 分）口袋中有 3 只紅球和 11 只黃球，這兩種球除顏色外沒有任何區別，從口袋中任取一只球，取到黃球的概率是___________. 6． (2004，南山，5 分）周聰同學有紅、黃、藍三件 T 恤和黑、白、灰三條長褲，請你幫他搭配一下，看看有幾種穿法． 點 考點 2 ：概率的應用與探究 一、考點講解：

　1．計算簡單事件發生的概率：

　列舉法：

　? ??列表畫樹狀圖

　 2．針對實際問題從多角度研究事件發生的概率，從而獲給理的猜測 二、經典考題剖析：

　【考題 2－1】（2004、南寧，3 分）中央電視臺的“幸運 5 2”欄目中的“百寶箱”互動環節是一種競猜游戲，游戲規則如下：在 20 個商標牌中，有 5 個商標牌的背面注明一定的獎金額，其余商標牌的背面是一張哭臉，若翻到哭臉，就不得獎．參與這個游戲的觀眾有 3 次翻牌的機會（翻過的牌不能再翻）．某觀眾前兩次翻牌均獲得若干獎金，那么他第三次翻牌獲獎的概率是（

?。?/p>

　 1 1 1 3A .

　.

　 .

　 .2 5 5 6 2 0B C D 解：C 點撥：由于 20 個商標中共有 5 個商標注明獎金，翻 2 次均獲獎金后，只剩下 3 個注明獎金的商標，又由于翻過的牌不能再翻，所以剩余的商標總數為 18 個．因此第三次翻牌獲獎的概率為 16

　.

　 【考題 2－2】（2004、四省區，6 分）一布袋中放有紅、黃、白三種顏色的球各一個，它們除顏色外其他都一樣，小亮從布袋中摸出一個球后放回去搖勻，再摸出一個球．請你利用列舉法（列表或畫樹狀圖）分析并求出小亮兩次都能摸到白球的概率． 解：列表如下：

　答：小亮兩次都能摸到白球的概率為 19

　 三、針對性訓練：

　1．在 100 張獎券中，有 4 張中獎，某人從中任抽 1 張，則他中獎的概率是（

?。?/p>

　 A、125

　 B、14

　 C、1100

　 D、120

　 2．在一所有 1000 名學生的學校中隨機調查了 100 人，其中有 85 人上學之前吃早餐，在這所學校里隨便問 1 人，上學之前吃過早餐的概率是（

?。?/p>

　 A．0.8 5

　 B．0.085

　C．0.1

　 D．850 3．有兩只口袋，第一只口袋中裝有紅、黃、藍三個球，第二只口袋中裝有紅、黃、藍、白四個球，試利用樹狀圖和列表法，求分別從兩只口袋中各取一個球，兩個球都是黃球的概率． 4．為了估計魚塘中有多少條魚，先從塘中撈出 100 條做上標記，再放回塘中，待有標記的魚完全混人魚群后，再撈出 200 條魚，其中有標記的有 20 條，問你能否估計出魚塘中魚的數量？若能，魚塘中有多少條魚？若不能，請說明理由． 5．將分別標有數字 1，2，3 的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上． ⑴ 隨機地抽取一張，求 P（奇數）

?、?隨機地抽取一張作為十位上的數字（不放回人再抽取一張作為個位上的數字，能組成哪些兩位數？恰好是“32”的概率為多少？ 第 第 1 1 課時

　隨機事件的概率1 1 ．隨機事件及其概率(1) 必然事件：在一定的條件下必然發生的事件叫做必然事件．(2) 不可能事件：在一定的條件下不可能發生的事件叫做不可能事件．(3) 隨機事件：在一定的條件下，也可能發生也可能不發生的事件叫做隨機事件．(4) 隨機事件的概率：一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件 A 發生的頻率nm總是接近于某個常數，在它附近擺動，這時就把這個常數叫做事件 A 的概率，記作 ( ) P A ．

　 (5) 概率從數量上反映了一個事件發生的可能性的大小，它的取值范圍是 0 ( ) 1 P A ? ? ，必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0．2 2 ．等可能性事件的概率(1) 基本事件：一次試驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件．(2) 等可能性事件的概率：如果一次試驗由 n 個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率是1n．如果某個事件 A 包含的結果有 m 個，那么事件 A 的概率：? ? P A ?mn例 例 1 1 ．1) 一個盒子裝有 5 個白球 3 個黑球，這些球除顏色外，完全相同，從中任意取出兩個球，求取出的兩個球都是白球的概率；(2) 箱中有某種產品 a 個正品，b 個次品，現有放回地從箱中隨機地連續抽取 3 次，每次 1 次，求取出的全是正品的概率是（

　 ）A．33b aaCC?

　B．33b aaAA?

　 C．33) ( b aa?

　D．33b aaAC?(3) 某班有 50 名學生，其中 15 人選修 A 課程，另外 35 人選修 B 課程，從班級中任選兩名學生，他們是選修不同課程的學生的概率是多少？：

　解：（1）從袋內 8 個球中任取兩個球共有 2828? C 種不同結果，從 5 個白球中取出 2 個白球有 1025? C 種不同結果，則取出的兩球都是白球的概率為1452810) ( ? ? A P（2）33) ( b aa?

　 （3）73250135115???CC CP

　例 例 2. 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有 2 個紅球，2 個白球；乙袋裝有 2 個紅球，n 個白球，兩甲、乙兩袋中各任取 2 個球.(1) 若 n＝3，求取到的 4 個球全是紅球的概率；(2) 若取到 4 個球中至少有 2 個紅球的概率為43，求 n.：

　解：（1）記“取到的 4 個球全是紅球”為事件60110161) ( .25222422? ? ? ? ?CCCCA P A .（2）記“取到的 4 個球至多有 1 個紅球”為事件 B，“取到的 4 個球只有 1 個紅球”為事件 B 1 ，“取到的 4個球全是白球”為事件 B 2 ，由題意，得) ( .41431 ) (1B P B P ? ? ?221 12422222241212? ??? ? ???nn nnnCC CCCCCCC C) 1 )( 2 ( 322? ??n nn) 1 )( 2 ( 6) 1 () (22224222? ??? ? ??n nn nCCCCB Pnn所以) 1 )( 2 ( 32) ( ) ( ) (22 1? ?? ? ?n nnB P B P B P41) 1 )( 2 ( 6) 1 (?? ???n nn n，化簡，得 7n2 －11n－6＝0，解得 n＝2，或73? ? n （舍去），故 n＝2.

　1．實際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及隨機事件．隨機事件在現實世界中是廣泛存在典型例題 小結歸納

　 的．在一次試驗中，事件是否發生雖然帶有偶然性，當在大量重復試驗下，它的發生呈現出一定的規律性，即事件發生的頻率總是接近于某個常數，這個常數就叫做這個事件的概率．2．如果一次試驗中共有 n 種等可能出現的結果，其中事件 A 包含的結果有 m 種，那么事件 A 的概率? ? .mP An?從集合的角度看，一次試驗中等可能出現的所有結果組成一個集合 I，其中事件 A 包含的結果組成 I 的一個子集 A，因此 ? ?? ?? ?.Card A mP ACard I n? ? 從排列、組合的角度看，m、n 實際上是某些事件的排列數或組合數．因此這種“古典概率”的問題，幾乎使有關排列組合的計算與概率的計算成為一回事．3．利用等可能性的概率公式，關鍵在于尋找基本事件數和有利事件數．第 第 2 2 課時

　互斥事件有一個發生的概率1 1 ．

　不能同時發生的事件

　 的兩個事件叫做互斥事件．2 2 ．

　必有一個發

　的兩個互斥事件叫做對立事件．3 3 ．從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此

　不相交

?。录?A的對立事件 A 所含的結果組成的集合，是全集中由事件 A 所含的結果組成的集合的補集．4 4 ．由于集合是可以進行運算的，故可用集合表示的事件也能進行某些運算．設 A、B 是兩個事件，那么 A+B表示這樣一個事件：在同一試驗中，A 或 B 中

　至少一個發生

　就表示 A+B 發生．我們稱事件 A+B 為事件 A、B 的和．它可以推廣如下：“ 1 2A A A n ? ? ?”表示這樣一個事件，在同一試驗中，, , ,1 2A A A n 中

　即表示 1 2A A A n ? ? ?發生，事實上，也只有其中的某一個會發生．5 5 ．如果事件 A、B 互斥，那么事件 A+B 發生的概率，等于

?。?P(A+B)＝

　P(A)+P(B)

　 ．6.由于 A A ? 是一個必然事件，再加上 P(A+B)=P(A)+ P(B) ，故 1 P(A A) P(A) P(A) ? ? ? ? ，于是 P( A)=

　1-P(A)

　，這個公式很有用，?？墒垢怕实挠嬎愕玫胶喕斨苯忧竽骋皇录母怕瘦^為復雜時，可轉化去求其對立事件的概率．例 例 1. 某射手在一次射擊訓練中，射中 10 環，9 環，8 環，7 環的概率分別為 0.21, 0.23, 0.25, 0.28，計算這個射手在一次射擊中：①射中 10 環或 7 環的概率；②不夠 7 環的概率.解：① 0.49；② 0.03．

　例 例 2. 袋中有紅、黃、白 3 種顏色的球各 1 只，從中每次任取 1 只，有放回地抽取 3 次，求：（1）3 只全是紅球的概率．（2）3 只顏色全相同的概率．（3）3 只顏色不全相同的概率．（4）3 只顏色全不相同的概率．

　解：(1)記“3 只全是紅球”為事件 A．從袋中有放回地抽取 3 次，每次取 1 只，共會出現 3 3 3 27 ? ? ? 種等可能的結果，其中 3 只全是紅球的結果只有一種，故事件 A 的概率為127P( A)? ．

　(2) “3 只顏色全相同”只可能是這樣三種情況：“3 只全是紅球”(事件 A)；“3 只全是黃球”(設為事件 B)；“3 只全是白球”(設為事件 C)．故“3 只顏色全相同”這個事件為 A+B+C，由于事件 A、B、C 不可能同時發生，因此它們是互斥事件．再由于紅、黃、白球個數一樣，故不難得127P(B) P(C ) P( A) ? ? ? ， 典型例題 基礎過關

　 故19P( A B C ) P( A) P(B) P(C ) ? ? ? ? ? ? ．

　(3) 3 只顏色不全相同的情況較多，如是兩只球同色而另一只球不同色，可以兩只同紅色或同黃色或同白色等等；或三只球顏色全不相同等．考慮起來比較麻煩，現在記“3 只顏色不全相同”為事件 D，則事件 D為“3 只顏色全相同”，顯然事件 D 與 D 是對立事件．

　1 81 19 9P(D) P(D) . ? ? ? ? ? ?

　(4) 要使 3 只顏色全不相同，只可能是紅、黃、白各一只，要分三次抽取，故 3 次抽到紅、黃、白各一只的可能結果有1 1 13 2 16 C C C ? 種，故 3 只顏色全不相同的概率為

　6 227 9? ．

　1 1 ．互斥事件概率的加法公式、對立事件概率的加法公式，都必須在各個事件彼此互斥的前提下使用． 2．要搞清兩個重要公式：

　1 P( A B) P( A) P(B),P( A) P( A) ? ? ? ? ? 的運用前提． 3．在求某些稍復雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率．

　第 第 3 3 課時

　相互獨立事件同時發生的概率

　1 1 ．事件 A（或 B）是否發生對事件 B（或 A）發生的概率 沒有影響

　 ，這樣的兩個事件叫獨立事件． 2 2 ．設 A，B 是兩個事件，則 A·B 表示這樣一個事件：它的發生，表示事件 A，B

　同時發生

　 ，類似地可以定義事件 A 1 ·A 2 ·„„A n . 3 3 ．兩個相互獨立事件 A，B 同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積，即 P(A·B) ＝

　 P(A)P(B)

　一般地，如果事件1 2 nA ,A , ,A 相互獨立，那么：P(A 1 ·A 2 „„A n )＝

　 . 4 4 ．n 次獨立重復試驗中恰好發生 k 次的概率：如果在一次試驗中某事件發生的概率是 P，那么在 n 次獨立重復試驗中這個事件恰好發生 k 次的概率是 1k k n kn nP (k ) C P ( P)?? ? ．

　 例 例 1.

　如圖所示，用 A、B、C 三類不同的元件連接成兩個系統1N 、2N ，當元件 A、B、C 都正常工作時，系統1N 正常工作，當元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有 1 個正常工作時系統2N 正常工作，已知元件 A、B、C 正常工作的概率依次為 0.8、0.9、0.9，分別求系統1N 、2N 正常工作時的概率．

　解：分別記元件 A、B、C 正常工作為事件 A、B、C， 由已知條件 0 80 0 90 0 90 P( A) . ,P( B) . ,P(C ) . ? ? ?

　(Ⅰ)因為事件 A、B、C 是相互獨立的，所以，系統1N 正常工作的概率 10 80 0 90 0 90 0 648P P( A B C ) P( A) P( B) P(C ). . . .? ? ? ? ? ?? ? ? ?

　故系統1N 正常工作的概率為 0.648. (Ⅱ)系統2N 正常工作的概率 小結歸納 典型例題 基礎過關

　 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?21 11 1 0 90 0 10P P( A) P B C P A P B P C ,P B P B . . ,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?

　? ? ? ?? ?21 1 0 90 0 100 80 1 0 10 0 10 0 80 0 99 0 792P C P C . . ,P . . . . . . .? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 故系統正常工作的概率為 0.792． 例 例 2. 箱內有大小相同的 20 個紅球，80 個黑球，從中任意取出 1 個，記錄它的顏色后再放回箱內，進行攪拌后再任意取出 1 個，記錄它的顏色后又放回，假設三次都是這樣抽取，試回答下列問題：

?、偾笫录?A：“第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球”的概率； ②求事件 B：“三次中恰有一次取出紅球”的概率. ：

　解：（① 12516；② 12548

　1．當且僅當事件 A 與事件 B 互相獨立時，才有 ? ? ? ? ? ? P AB P A P B ? ?

　，故首先要搞清兩個事件的獨立性． 2．獨立重復試驗在概率論中占有相當重要地地位，這種試驗的結果只有兩種，我們主要研究在 n 次獨立重復試驗中某事件發生 k 次的概率：? ? ? ? 1n kk kn nP k C P P?? ?，其中 P 是 1 次試驗中某事件發生的概率，其實? ? 1n kk knC P P??正好是二項式? ? 1nP P ? ? ? ?? ?的展開式中的第 k+1 項，很自然地聯想起二項式定理．

　1．本節綜合性強，涉及的概念、公式較多，學習時應準確理解這些概念、公式的本質內涵，注意它們的區別與聯系．例如，若獨立重復試驗的結果只有兩種（即 A 與 A ， A A ? 是必然事件），在 n 次獨立重復試驗中，事件 A 恰好發生 k 次的概率 ( ) (1 )k k n kn nP k C P P?? ? 就是二項式 [(1 ) ] n P P ? ? 展開式中的第 1 k ? 項，故此公式稱為二項分布公式；又如兩事件 , A B 的概率均不為 0，1 時，“若 , A B 互斥，則 , A B 一定不相互獨立”、“若 , A B 相互獨立，則 , A B 一定不互斥”等體現了不同概念、公式之間的內在聯系． 2．運用 ( ) , ( ) ( ) ( ), ( )mP A P A B P A P B P A Bn? ? ? ? ?

　P(A·B)＝P(A)·P(B)等概率公式時，應特別注意各自成立的前提條件，切勿混淆不清．例如，當 , A B 為相互獨立事件時，運用公式 ( ) ( ) ( ) P A B P A P B ? ? ? 便錯． 3．獨立重復試驗是指在同樣條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩重結果（即某事件要么發生，要么不發生），并且在任何一次試驗中，事件發生的概率均相等． 獨立重復試驗是相互獨立事件的特例（概率公式也是如此），就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只是有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣． 4．解決概率問題要注意“三個步驟，一個結合”：

?。?）求概率的步驟是：

　第一步，確定事件性質，即所給的問題歸結為四類事件中的某一種． 第二步，判斷事件的運算，即是至少有一個發生，還是同時發生，分別運用相加或相乘事件． 第三步，運用公式求得．

?。?）概率問題常常與排列組合問題相結合． 例 例 1. 袋子中有 1 個白球和 2 個紅球． ⑴ 每次取 1 個球，不放回，直到取到白球為止．求取球次數 ? 的分布列． ⑵ 每次取 1 個球，放回，直到取到白球為止．求取球次數 ? 的分布列． ⑶ 每次取 1 個球，放回，直到取到白球為止，但抽取次數不超過 5 次．求取球次數 ? 的分布列． 和 事件 等可能事件：

　( )mP An?

　互斥事件：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A·B)＝0

　 獨立事件：P(A·B)＝P(A)·P(B)等

　n 次獨立重復試驗：

　( ) (1 )k k n kn nP k C P P?? ?

　 ⑷ 每次取 1 個球，放回，共取 5 次．求取到白球次數 ? 的分布列． 解 ：

?、?1,2,3. ? ?

　? ?? ?? ?13122322331 11 ,31 12 ,31 13 .3PAAPAAPA???? ? ?? ? ?? ? ? ) 2 ( ? ? P ＝31 12312??AA ) 3 ( ? ? P ＝31 13322??AA ? 所求 ? 的分布列是

　?

　1 2 3 P

　13 13 13

?、?每次取到白球的概率是13，不取到白球的概率是23， ? 所求的分布列是 ?

　1 2 3 „ n

　„ P 13 2 13 3? 22 13 3? ??? ?? ? „ 12 13 3n?? ??? ?? ? „ ⑶ ?

　1 2 3 4 5 P 13 2 13 3? 22 13 3? ??? ?? ? 32 13 3? ??? ?? ? 423? ?? ?? ? ⑷1~ 5, ,3B ?? ?? ?? ? ∴ P＝( ? ＝k)＝C 5k (31)k ·(32)5－k ， 其中 0,1,2,3,4,5. k ?

　∴所求 ? 的分布列是 ?

　0 1 2 3 4 5 P 32243 80243 80243 40243 10243 1243