高考數學中關于數列問題與其他知識的結合分析

摘 要：在高考數學中，數列是必考的重要知識點之一，并常以解答題的形式出現?；跀盗斜旧碡S富的知識結構，易與其他知識點達成有效的結合來提問。在具體的應用中，較為常見的有數列與函數、不等式及解析幾何的結合，本文就相關方面的具體例題進行系統解析，以發掘并總結個中的規律，為實際的備考提供借鑒。

近幾年的高考數學試題中，數列一般與函數、不等式及解析幾何等知識點進行有機融合來考查，這種考查方式無疑加大了試題的難度，對考生的解題能力有了更高的要求，乃至上升到理性思維的層面。

1.數列與函數的綜合考查

數列部分作為高考數學試題考查的重點內容，其與函數的結合在近年來日益成為命題的熱點。數列從本質上來講，也是函數的一種表現形式，作為一種自變量是正整數的函數呈現。對于數列這種特殊的函數涉及的問題的解答方式，需要同學們采用函數的思想去分析，對函數在該問題中的作用以及巧妙運用函數思維來解答是學生應當重點考慮的內容。數列與函數的知識點相結合來考查的例子很多，較為典型的一種如下例1所示：

例1：已知函數f（x）=log2x-logx2

（0

2n（n∈N*），那么求數列{an}的通項公式。

解析：f（2 n）=log22 n-—= 2n= an-—=2n，即an-2nan-1=0，解得：

an=n±√n2+1。再根據0

0<2 n<1，那么an<0，an=n-√n2+1。

評析：這道題在結構的設計上較為靈活巧妙，以對數函數切入，結合數列與函數的相關內容，系統考查學生的邏輯分析能力的同時，強調在解答數列問題的基礎上對方程與函數的綜合運用。

2.數列與不等式的結合運用

數列與不等式相結合在近幾年的高考數學中也是較為普遍的考查方式?；谝话銛盗械闹R點，與不等式相融合，來強化學生的推理能力，在題型的設計方面較函數類更加靈活，進一步考查學生在數列問題解答方面的綜合應用意識。較為常見的考查方式如下例2所示：

例2：已知等差數列{an}的前n項

和為Sn，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，

a7剛好構成一個等比數列。

（1）求數列的前n項和Sn。

（2）設bn=—，數列{bn}的前n項和為Tn，求證2Tn-9bn-1+18> —（n>1）。

解析：（1）解（略）。

Sn=na1+—d=n+2n（n-1）=

2n2-n。

（2）把Sn的值代入到bn中，得bn=—=2n，所以，數列{bn}是首項為2，公差為2的等差數列。

那么，Tn=—=n2+n。

所求的2Tn-9bn-1+18=2n2+2n-18（n-

1）+18=2（n-4）2+4≥4，并且只有當n=4時，等號成立。

把bn代入到不等式的右側，并化簡，

可得—≤—=4，只有當n=—，n=3時，等號成立，所以，要求證的不等式成立。

評析：這道題對于基本數列問題與不等式的結合來設計的考查內容，是立足于等差數列和等比數列的基礎知識，加入不等式的相關思想，考查學生對基礎內容的理解和具體應用。

3.數列與解析幾何的綜合應用

數列與解析幾何相關知識的糅合是近幾年高考數學解答題或壓軸題中較為常見的題型之一，從題型設計來看，對學生數學思想的應用的考查更為深刻。本文中給出了一個較為適用的題例如下所示：

例3：已知平面xOy上有點列P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），且對于自然數n，點Pn位于函數y=x2（x≥0）的圖像上，以點Pn為圓心的圓與x軸外切，且Pn與Pn+1又相外切。已知x1=1，且xn+1

解析：圓Pn的半徑rn=yn=xn。因為兩圓相外切，所以兩圓心的距離為兩半徑的和，再根據兩點間的距離公式并化簡可得：xn-xn+1=2xnxn+1。即—-—=

2（n∈N*）。

所以，數列{—}是首項為1，公差為2的等差數列，那么—=1+2（n-1），得：xn=—。

評析：這道題的設計中涉及較為繁復的知識點，在具體的解答過程中，學生應當充分運用數學思想來對待，首先將其作為一個數列的基本問題，將可變列的幾何屬性與相對應的數列本身的性質相結合，然后通過適當的變形和轉化，把問題轉化成為數列或解析幾何的問題，最后便可以根據已知條件進行進一步的求解。

綜上所述，數列在高考數學試題考查中的應用十分廣泛，本文只是選擇較為常見的三種數列與函數、不等式和解析幾何的綜合運用，熟練掌握數列問題的基本知識，學會運用數學思想來思考問題，對深入把握解答技巧的精髓十分重要。

參考文獻：

[1]錢繼兵.例談數列與其他知識的常見結合形式[J].數學學習與研究，2013（23）.

[2]呂佐良.聚集數列與其他知識的整合[J].試題與研究（高考），2013（29）.

（作者單位：重慶市綦江南州中學）