高速磁浮系統最小能耗下的運控曲線計算

張雷

（中鐵第四勘察設計院集團有限公司電氣化設計研究院，武漢 430063）

高速磁浮交通牽引供電系統主要由牽引變電所、饋電電纜、軌旁開關站和長定子直線同步電機等組成[1-3]。

為了提高列車運行時的加速度，高速磁浮牽引系統由傳統的1 套牽引變流器增加為2 套牽引變流器，并通過饋電電纜并聯，再由定子開關站決定是否給定子段供電[4-6]。

由2 套變流器進行供電的工作模式被稱為雙端供電，是目前高速磁浮交通特有的供電方式。該方式很好地解決了單臺變流器工作時超過額定容量的問題，提高了整個牽引供電系統的可靠性。但是雙端變流器的并聯產生了環流[7-8]，進而導致變流器電流波形發生畸變；
除此之外，高速磁浮交通系統饋電電纜的損耗會隨著里程和電流頻率的變化而變化，電機銅耗也會因為列車的牽引力變化而變化。因此在降低能耗的基礎上如何分配2 套變流器的電流是目前的研究熱點。

文獻[9]通過共用轉速調節器實現總負載電流控制，然后根據電流調節器和環流調節器對負載電流進行分配，減小了線路中的損耗和環流；
文獻[10]通過分析電纜長度和信號傳輸延時對控制性能的影響，提出對應的補償方法，從而提高磁浮高速運行時的控制性能；
文獻[11]以混合型逆變器供電的交流傳動系統為對象，采用直流側獨立供電抑制零序環流，并提出了一種直流電容穩壓控制策略；
文獻[12]分析了死區效應、直流母線波動以及中點電壓偏移這些非理想因素對環流的影響，并在此基礎上提出了直接模式控制策略，抑制了非理性因素對并聯系統導致的環流，但沒有考慮兩邊饋線阻抗不同對環流造成的影響；
文獻[13]針對不同的線路區間采用不同的電流分配比來減小饋電電纜損耗，但不能根據線路情況實時調節分配比。

目前的算法都是在給定運控曲線的基礎上通過電流分配策略來降低整個牽引系統的總能耗，并沒有考慮運控曲線對系統總能耗的影響。因此本文提出以最小能耗方程作為目標函數，然后通過等電流法或等電壓法去分配雙端變流器的電流，最后根據拉格朗日極值法得到高速磁浮列車的運控曲線。經仿真計算發現，該方法能在滿足等電流和等電壓分配策略的情況下，找到符合約束條件的最小能耗點和其所對應的運控曲線，使整個系統的能耗降低。

1.1 雙端供電工作模式

當磁懸浮列車速度達到高速時，需要供電區間兩端牽引變電站的變流器通過各自的饋線在開關站并聯匯流后向定子繞組供電，來提供更大的牽引力[14]。其雙端供電工作模式如圖1 所示。

當磁懸浮牽引供電系統采用雙端供電時，每端的變流器不用承受過大的容量，同時也保證了列車的運行安全，當一端供電故障時，還可以通過另一端的變流器為磁浮列車供電。圖1 中的定子段采用三步法的方式進行換步，能夠保證更高的牽引能力。

圖1 雙端供電工作模式（三步法）Fig.1 Double-ended power supply mode（three-step method）

1.2 長定子直線同步電機數學模型

一般來講，高速磁懸浮列車的運行區間很長，因此本文將定子段的饋電電纜做了集中參數處理。在雙端供電模式下，長定子直線同步電機三相靜止坐標系下的數學模型[9]為

式中：ua1、ub1、uc1、ua2、ub2、uc2分別為雙端變流器的三相輸出電壓；
ua、ub、uc分別為三相定子電壓；
ia1、ib1、ic1、ia2、ib2、ic2分別為雙端變流器的三相輸出電流；
ia、ib、ic分別為三相定子電流；
Ψa、Ψb、Ψc分別為三相定子磁鏈；
Rs、Ls分別為定子電阻和電感；
L1、L2、R1、R2分別為雙端饋電電纜的等效電感和等效電阻。

三相靜止坐標系下，長定子直線同步電機的電感會隨著動子的位置變化而變化，增加了控制難度。為了便于控制，本文采用等幅值變換將三相靜止坐標系下的電機數學模型轉換到d-q 坐標系下[15]。長定子直線同步電機在d-q 軸的等效電路如圖2 所示。

圖2 長定子直線同步電機d-q 軸等效電路Fig.2 d-q axis equivalent circuit of long-stator linear synchronous motor

則d-q 軸的電機數學模型為

式中：Ld、Lq為d、q 軸的定子繞組電感；
τ為極距；
v為列車速度；
ω為動子角速度；
p為微分算子；
Msm為定、動子間的互感；
im為勵磁電流；
id1、iq1和ud1、uq1分別為左側變流器d、q 軸的電流和電壓；
id2、iq2和ud2、uq2分別為右側變流器d、q 軸的電流和電壓。

式中，iq為q 軸的定子電流，其值為iq1與iq2之和。

2.1 最小能耗下的運控曲線

已知高速磁浮列車的運行區間長度為xall，運行時間為tall。假設先以恒加速度a1加速一段時間t1，再勻速運行一段時間t2，最后以恒減速度a3減速一段時間t3。當確定t1、t2、a1，即可確定高速磁浮列車的整個運控曲線。運控曲線如圖3 所示。

圖3 高速磁浮列車的運控曲線Fig.3 Operation control curve of high-speed maglev train

則高速磁浮列車的約束方程為

根據牛頓第二定律，高速磁浮列車的動力學方程為

式中：Fx為列車的牽引力；
FZ為列車的阻力；
m為列車的總質量；
a為列車的運行加速度。高速磁浮列車的阻力方程為

式中：FA、FM、FB分別為空氣阻力、磁阻力、發電阻力；
N為車輛編組數。

根據式（9）～式（13）可以得到雙端變流器的輸出瞬時功率為

式中：Lu、Ru分別為供電電纜的單位電感和單位電阻；
x為列車的位移；
P1、P2分別為雙端變流器輸出的瞬時功率。通過對雙端變流器輸出的瞬時功率積分，即可得到區間總能耗為

以式（25）為目標方程、式（15）為約束方程，通過拉格朗日條件極值法可以計算出t1、t2、a1參數，從而可以得到最小能耗下的運行曲線。

目前高速磁浮系統多采用等電流和等電壓策略對2 臺變流器的輸出電流進行分配，本文也是在分配策略確定的基礎上計算最小能耗的運控曲線。下面將詳細介紹等電流和等電壓分配策略下運控曲線的計算步驟。

2.2 最小能耗下的等電流分配策略

等電流分配策略是指雙端變流器的輸出電流相等，即iq1=iq2。當在第1 個區段時間t1內時，速度和位移分別為v=a1t、x=則q 軸給定電流為

將式（26）代入式（21）和式（22），可以計算出P1=P1（t，a1）、P2=P2（t，a1）。再根據式（25）計算出第1區間的能耗Ws1=Ws1（t1，a1）。當在第2 個區段時間t2內時，速度和位移分別為v=a1t1，x=則q 軸給定電流為

將式（27）代入式（21）和式（22），可以計算出P1=P1（t，t1，a1）、P2=P2（t，t1，a1），再根據 式（25）計 算出第2 區間的能耗Ws2=Ws2（t1，t2，a1）。則總能耗Wall=Wall（t1，t2，a1）在約束式（15）下的最小值點可以通過方程求得為

式中，λ為拉格朗日條件極值法的輔助系數。

2.3 最小能耗下的等電壓分配策略

等電壓分配策略是指兩端變流器的輸出電壓相等，即V1=V2。按照等電壓法分配的電流分別為I1=αI、I2=（1-α）I，則式（1）可轉換為

式中，α為等電壓分配系數。通過求解一階線性常微分方程式（29），可以得到分配系數α為

式中，C為常數，由α（t=0）=0 確定。第1 區間和第2 區間的雙端變流器輸出瞬時功率的計算與等電流法一樣，然后再根據式（25）計算出能耗Ws1=Ws1（t1，a1）、Ws2=Ws2（t1，t2，a1）。最后通過式（28）計算得到最小能耗對應的參數a1、t1、t2，進而得到運控曲線。

將最小能耗下的等電流法和等電壓法使用MATLAB 進行編程，并根據拉格朗日條件極值法計算出高速磁浮系統的運控曲線。供電電纜參數與長定子直線同步電機參數如表1 和表2 所示。

表1 供電電纜參數Tab.1 Parameters of power supply cable

表2 長定子直線同步電機參數Tab.2 Parameters of long-stator linear synchronous motor

基于最小能耗的等電流分配策略下的運控曲線如圖4 所示。由圖4（a）和圖4（b）可以看到，滿足區間長度50 km 和區間耗時400 s的限制，最高速度為598 km/h；
圖4（c）表示變流器的輸出電流；
圖4（d）表示符合約束條件的（t1，t2，a1）點的總能耗，可以看到有最小值，且為2.27×1010J；
圖4（e）和圖4（f）分別表示2 臺變流器的輸出瞬時功率。

圖4 等電流分配策略Fig.4 Equal-current distribution strategy

基于最小能耗的等電壓分配策略下的運控曲線如圖5 所示。由圖5（a）和圖5（b）可以看到滿足區間長度50 km 和區間耗時400 s的限制，最高速度為542 km/h；
圖5（c）和圖5（d）分別表示兩端變流器的電流，可以看到，兩側電流不相等；
圖5（e）表示變流器的輸出電壓；
圖5（f）表示符合約束條件的（t1，t2，a1）點的總能耗，可以看到有最小值，且為1.82×1010J；
圖5（g）和圖5（h）分別表示2 臺變流器的輸出瞬時功率。

圖5 等電壓分配策略Fig.5 Equal-voltage distribution strategy

經過仿真計算發現，基于最小能耗的等電流分配法產生的總能耗要小于等電壓分配法，但最高運行速度要高于等電壓分配法；
由于將兩端變流器做了理想化處理，所以其輸出電流和電壓在有些區段超過了變流器的最大電流和電壓，后續考慮在算法的基礎上加入電流和電壓的限制，提高算法的魯棒性。

本文對高速磁浮交通牽引系統進行等電流分配和等電壓分配，并將能耗方程作為目標函數，區間長度和區間耗時作為約束函數，最后通過拉格朗日條件極值法計算得到高速磁浮的運控曲線。通過仿真計算發現，在滿足等電流和等電壓分配策略的情況下，所提方法能找到符合約束條件的最小能耗點和其所對應的運控曲線，從而使得整個系統的能耗降低；
除此之外，通過計算發現等電壓分配法的最小能耗要遠遠小于等電流分配法，但其最高運行速度要小于等電流分配法，因此可以在此基礎上根據線路的具體情況選擇不同的電流分配策略。