混合長度理論教學中的拓展性討論

賈 攀

(哈爾濱工業大學(深圳)理學院, 廣東深圳518055)

流體流動有層流和湍流兩種基本狀態。在自然界和工程應用中層流較為少見，流動大多為湍流，故而對湍流的討論也是不同層次流體力學教學中最核心的內容。通過對控制方程進行合理地簡化，層流問題一般可求得解析解或者近似解；
然而，對于湍流問題而言，由于控制方程固有的數學困難，無法解析求解，需要通過計算流體力學的方法數值求解。

湍流最顯著的特點之一是流場的瞬時速度和壓強在時間上表現出明顯的脈動。1894年，英國曼徹斯特大學物理學教授雷諾提出將瞬時速度和壓強分解為時均值和脈動值之和，即u=uˉ+u′和p=+p′。進一步，將該分解代入不可壓縮流動的連續方程和Navier-Stokes方程，即可得到描述平均流動的雷諾時均方程組如下

其中，v和ρ分別是流體的運動黏性系數和質量密度。相比于瞬時流動的Navier-Stokes方程，雷諾時均流動方程（2）中額外包括一個二階脈動關聯項，該項來源于對非線性對流項?(uiuj)/?xj的平均運算；
為二階對稱張量，包含6個獨立分量，具有應力量綱，通常稱之為雷諾應力。上述方程組中包括4個分量方程，但是除了4個未知數uˉi和pˉ 之外，還有6個雷諾應力的分量未知；
顯然，未知數的個數大于方程的個數，該方程組不封閉。若要求解，則須將雷諾應力和時均流場關聯起來，此即為求解湍流流動的封閉問題，相應的關聯式稱之為湍流模型。1877年，法國物理學家Boussinesq引入渦黏性系數的概念，發展了第一個湍流模型，即渦黏性模型[1]。在該模型的基礎上，人們相繼發展了混合長度理論[2]和關聯于湍動能輸運和耗散的K-ε模型[3]。后續，獨立于渦黏性假設，人們又針對各向異性湍流發展了雷諾應力微分模型[4]。

在現有的模型中，混合長度理論的物理圖像清晰明了，是物理學中比擬思想最直接的范例之一，對邊界層流動、管道和槽道流動，以及各種自由剪切流動的?；钟行?，目前已廣泛應用于大氣科學[5]、海洋科學[6]以及恒星內部流動分析[7]。此外，該模型簡潔的數學形式，允許進行一定程度的數學解析分析。因此，混合長度理論是國內外不同層次流體力學教材中介紹的重點內容[8-16]。然而，大多教材都是在簡要提及混合長度理論的比擬思想之后即著重講述混合長度的估計方法，對混合長度理論的優缺點，以及適用分析的流動則較少討論，對該理論的發展和拓展性討論更是少有闡述，因此，學生往往缺乏對該理論的透徹理解。這種情況下，學生在面對教材例題之外的問題時，比如近壁面流場中的黏性效應，壁面粗糙度效應等，往往十分困惑，無法準確判斷是否可以使用混合長度理論；
對混合長度理論的進一步發展和改進更是困難。

本文首先簡要回顧混合長度理論的基本思想，然后以固體壁面剪切流動為對象，從近壁黏性和流向壓強梯度效應、壁面粗糙度以及周期性波紋型壁面三個角度對混合長度理論的應用進行拓展性討論。這將有助于教師幫助學生更加全面地理解混合長度理論，從而能夠在分析實際流動問題時準確選用。

1925年，德國科學家Prandtl將湍流流場中流體微團的脈動比擬于氣體分子的熱運動，提出了混合長度理論[2]。他假設流體微團在運動一段距離l之后才和它周圍的流體微團發生動量交換，速度在運動的過程中則保持不變。在該假設下，流體微團運動的距離l可類比于氣體分子運動的平均自由程，稱之為“混合長度”?；旌祥L度的估計方法是多數流體力學教材詳細著墨的內容[8-9,12,15]，在此不再贅述，僅簡要說明思路。如圖1(a)所示，以平直壁面的剪切流動為例，z0處的時均速度為uˉ(z0)， 假 設z0-l處的 流 體 微團沿z軸 正 方 向（脈動速度w′>0 ）運動距離l之后才和周圍的流體混合，同時認為該流體微團混合前后的時均速度uˉ (z0-l) 和uˉ (z0) 之差 為z0處 的速度脈 動。由于l為小量，可通過泰勒級數展開、保留線性部分得到脈動速度的量級為-l(duˉ/dy)|z0。類似地，可通過z0+l處的流體微團向下（w′<0 ）運動距離l之后和z0處的流體微團混合，得到z0處的速度脈動量級為l( duˉ/dy)|z0。由于z0處的流體微團可隨機地來自z0-l或z0+l處，因此在一段時間內從上方和下方抵達的概率是相等的，于是z0處的速度脈動應該與上述得到的兩個脈動速度均值的量級相同，即進一步假設z方向的速度脈動w′與u′量級相同，同時考慮到通常u′w′<0 ，于是有，最終可得

圖1 平直壁面的剪切流動

其中，尺度化符號轉化為等號的過程中出現的比例效應已經包含在混合長度l中。因此，渦黏性系數可估計為vt=l2|d/dy|。由上文討論可知，混合長度理論中渦黏性系數的估計涉及到一個混合長度和一個混合頻率，它們分別表征了湍流場中特征渦的長度尺度和時間尺度[14]。一般情√況下，混合頻率由流場應變率的模給定其中=?ui/?xj+?uj/?xi。于是，湍流流場中分子擴散引起的黏性切應力和湍流脈動導致的雷諾切應力之和可表示為

在回顧了混合長度理論的基本思想之后，我們從三個角度探討流體力學教學中針對混合長度理論的拓展性討論。

對于平壁附近剪切流動，若已知壁面處的切應力為τ0=ρu2?，其中u?為摩擦速度，理論上即可求解流場的平均速度廓線。當流動方向的壓強梯度為零時，對時均流動的控制方程沿垂直于平板方向積分可得

在近鄰壁面處存在一個黏性底層，該層內黏性起主導作用，雷諾應力可忽略，故而時均速度呈線性分布

黏性底層之外，慣性效應占優，黏性可以忽略，流動處于完全湍流狀態，稱之為湍流核心區。若通過混合長度理論來?；字Z應力，即可得到湍流核心區的時均速度廓線。Prandtl認為混合長度取值不受流體黏性的影響；
同時，由于流場中一點到壁面的距離z是流動中唯一的長度尺度，因此可假設l=κz；
該假設也意味著在=τ0成立的長度尺度范圍內，流場中一點處的動量輸運，不會受到長度尺度比該點到壁面距離z大的渦的影響，也不會受到壁面附近小渦的影響。結合流動控制方程，可得湍流核心區的速度廓線呈對數分布

其中C為待定的積分常數，κ≈0.4 為von Karman常數，對于光滑壁面C≈5.0[8,14]。

以上通過混合長度理論得到湍流核心區對數律平均速度廓線的討論通常作為典型的應用范例，可見于流體力學教材[8-9,12,15]。其實，在黏性底層和湍流核心區之間還存在一個黏性應力和雷諾應力都比較重要的過渡區（也稱緩沖區）。顯然，在黏性底層和過渡區內，速度分布都不遵循方程（6）所示的“對數律”，故而混合長度理論不能直接使用。如何實現固壁湍動剪切流場的完全描述，可作為混合長度理論教學的拓展性討論之一。

若將方程（3）應用于黏性底層，我們可得O(y3)，l～O(y3) 。因此，湍流核心區混合長度的估計形式l=κz并不適用，需要進行衰減處理。1956年，van Direst通過引入一個指數形式的阻尼因子來改進混合長度，實現了固體壁面湍動剪切流場的完全描述[17]。改進之后的混合長度估計形式為

其中，Rt為過渡雷諾數。對于流動方向壓強梯度為零的于平壁剪切流動來說，Rt0≈26 。將方程（3）代入方程（4）求解即可得

其中Rl=u?l/v。進一步，將方程（7）代入并積分即可得到固壁面附近完整的平均速度廓線，如圖1(b)所示無量綱之后的速度廓線。在壁面附近的黏性底層內（z→0 ），可得∝z的線性變化關系；
遠離壁面處，方程（7）中的指數項衰減趨近于零，從而可再現湍流核心區內的對數律速度分布（方程（6））。雖然van Direst修正模型是經驗性的，但是能很好地同時應用于黏性底層和湍流核心區，實現了兩者之間的光滑過渡（圖1(b)），該修正適用于多種壁面流動模型，尤其在大渦模擬中廣泛使用[18]。

除了近壁面處黏性底層的影響之外，流動方向的壓強梯度也會對混合長度的估計有影響（本節上文討論中，假設壓強梯度為零，見方程（4））。1967年，Smith 等[19]在 van Direst模型（方程（5））的基礎上，對Rt進行了修正，來考慮壓強梯度的效應

其中p+=[v/(ρu3?)](dp/dx) 。為了使不同層間速度廓線之間光滑過渡，Granville[20]在1989年又對Rt中的相關系數作了進一步修正。下文中，我們還將對波紋型壁面導致的壓強梯度效應進行討論（第4節）。

上文討論了主要針對光滑壁面的情況。然而在實際流動中，壁面總是粗糙的；
并且粗糙度等級（通過平均高度表征）對壁面切應力和流場時均速度廓線會有顯著影響。壁面剪切流動中，黏性底層厚度的量級為δv～v/u?；
若壁面粗糙度的平均高度d<δv，則壁面的粗糙結構完全淹沒在黏性底層中，湍流區不同尺度的渦感受不到壁面的粗糙結構，這種情況稱之為水力光滑；
反之，若d>δv，那么湍流區的渦會直接和表面的粗糙結構發生摩擦作用，造成可觀的能量耗散，這種情況稱之為水力粗糙。水力光滑和水力粗糙的基本概念多數教材會有簡要地討論，比如文獻[8-9,12, 15]；
但是，壁面粗糙度等級如何影響混合長度的估計，以及如何定量地分析粗糙度等級對流場速度廓線的影響，則鮮有提及，可作為混合長度理論教學的拓展性討論之二。

為了考慮壁面粗糙度對混合長度的影響，Claudin等[21]在van Direst的基礎上給出了估計混合長度，即[21]

其中，r=1/30 和s=1/3 為無量綱參數，該取值通過測量具有不同粗糙度等級的固壁表面剪切流動的速度廓線標定得到[22]。實際上，rd對應于流體動力學粗糙度，可通過將湍流核心區的對數速度廓線（方程（4））外推到速度為零時對應的壁面距離給定，如圖1(b)所示；
顯然，rd直接關聯于壁面和流體界面上的摩擦力和動量輸運。sd關聯于黏性底層的厚度，隨著壁面粗糙度等級的增加，黏性底層的厚度被抑制。以粗糙度的平均高度為特征長度，我們定義雷諾數Rd=u?d/v，用以表征粗糙度的平均等級和黏性底層厚度的相對大小，判斷壁面流動的光滑和粗糙特性。圖2中給出了不同Rd下，壁面剪切流動的時均速度廓線和流體動力學粗糙度。當Rd較小時，壁面是水力光滑的，黏性底層相對較大，靠近壁面處速度線性分布（圖2(a)中橙色曲線）；
此時，流體動力學粗糙度基本不隨Rd變化，由黏性底層的厚度δv～v/u?決定。當Rd較大時，黏性底層隱藏在壁面粗糙結構之內，過渡區也很薄可以忽略，整個流場幾乎全部處于湍流狀態，混合長度直接正比于到壁面的距離，速度廓線呈對數變化（圖2(a)中黑色和藍色曲線），相應地，流體動力學粗糙度，由壁面粗糙度高度決定，隨Rd的增大而增大（圖2(b)）。

前文有關混合長度的估計針對的都是平直壁面上的剪切流動。實際上，該理論也可推廣到非平直壁面剪切流動的情況，這一點可作為混合長度理論教學的拓展性討論之三。

為了不失一般性，我們考慮輪廓按三角函數形式變化的波紋型壁面（圖3(a)）。在只關注實部的情況下，壁面輪廓的數學描述可表示為Z(x)=ζexp(ikx)，其中ζ為壁面幅值，k=2π/λ為波數，λ為波長。其他形式的壁面輪廓都可通過傅里葉級數疊加的思想得到。對于波紋型壁面，由于伯努利效應，從波峰到波谷的流動中流速降低，壓強上升；
相應地，從波谷到波峰的流動中，流速上升，壓強下降；
因此流動方向會存在一個周期性變化的壓強梯度，需要指出：該梯度并不與壁面輪廓保持同相位變化[23]。由于該壓強梯度的存在，Rt不能取常數，van Direst模型不可直接使用；
此外，由于是非平直壁面，前文第2節關于壓強梯度的修正亦不適用。針對這種情況，Hanratty[24]于1981年研究指出Rt的取值依賴于一個在空間相位上滯后于壓強梯度的無量綱數H，由以下弛豫方程描述

其中τxx為應力分量，a為H的空間相位滯后的無量綱數值系數，b=(1/R0t)(dRt/dH) 表征由于壓強梯度導致的Rt的相對變化。通過實驗測得的波紋壁面切應力的變化特性，標定可得a=2000和b=35[25]。

對于波紋壁面來說，時均流動不再是平行流動，即使在給定混合長度的情況下，由于非線性對流項的存在，流動的控制方程組也無法解析求解。對于kζ較小的情況，通?？赏ㄟ^線性穩定性分析的思想求解流場：以平直壁面的流動作為基態，然后引入傅里葉模態對基態流場進行擾動，擾動后流場參數f(x,z) 的一般形式可表示為

其中η=k(z-Z) 為z方向的無量綱坐標，為基態流場信息；
右邊第二項為擾動項，其中比例系數c為有量綱量，用以匹配各物理量的單位，F(η)為無量綱的模態函數，用以描述流場物理量在z方向的變化。通過這種思路線性化時均流動的Navier-Stokes方程，并結合van Driest和Hanratty對混合長度估計方法的修正，求解可得波紋壁面剪切流場的全息信息。詳細求解過程，讀者可參考文獻[26]。

在這類流動中，壁面切應力一般是最為關注的物理量，按照方程（12），可表示為

因此，只要確定切應力對應的模態函數St在η=0處的值，即可確定壁面上的切應力分布。分析表明St(0) 為復數，這表明壁面切應力相對于壁面輪廓除了數值上的差別之外，還存在一個相位差。取St(0)=A+iB，容易理解：A和B的取值依賴于壁面附近的流動狀態（由壁面雷諾數Rλ=u?/(kv) 表征）。圖3(b)和圖3(c)所示為A和B隨Rλ的變化規律。顯然，Rλ在 10-4～10-3范圍內，相位差φ=arctan(B/A)>0 均成立；
因此，壁面切應力相對于輪廓存在一個相位提前；
也就是說，最大壁面切應力出現在波峰之前，并且在Rλ≈10-3附近出現了劇烈的變化，這些結果已經在實驗中證實，進一步的討論可參考文獻[25]。

在這部分的拓展性討論中，我們探討了混合長度理論在周期性波紋型壁面剪切流動?；械膽?。波紋型壁面在自然界很常見，比如沙漠和河床表面，以及行星環境下的波紋構型，它們的形成和演化都依賴于壁面上的剪切流動引起質量和能量輸運，已有學者借助波紋壁面的混合長度理論對這些構型進行了深入地討論[25-26]，在教學中可通過這些有趣的應用來激發學生學習湍流理論的好奇心和興趣。

本文以固體壁面的剪切流動為例，從近壁黏性和流向壓強梯度效應，壁面粗糙度以及周期性波紋型壁面的剪切流動三個角度對混合長度理論的拓展性教學給出了方案。前兩種討論是混合長度理論直接相關的擴展，可作為本科層次的教學拓展討論；
有關基于混合長度理論對波紋型壁面剪切流動分析，需要對流動穩定性分析的思想有所了解，可作為研究生層次的拓展討論內容。經過這樣的拓展性討論教學之后，將加深學生對混合長度理論的理解，幫助學生厘清混合長度理論的適用范圍，具備準確地應用于相關流動分析的能力。在拓展性教學的基礎上，筆者還認為應該探討混合長度理論的一些固有缺陷，比如，不同于氣體分子之間的碰撞，流體微團的互相作用是連續的，兩者直接比擬比較牽強等。如此，學生可以對混合長度理論有一個更加全面客觀的理解。