小學奧數匯編教材,第六講,,圓柱、圓錐、球體

　特級教師小學奧數匯編教材

　第六講

　圓柱、圓錐、球體

　【專題知識點概述】

　立體圖形，主要考點集中在不規則形體的表面積與體積計算。其中有自成一類的“染色問題”，也是經常見到的“幾何奧數題”。

　小學階段，我們除了學習平面圖形外，還認識了一些簡單的立體圖形，如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它們的體積、表面積的計算公式，本講重點講解立體圖形中的圓柱、圓錐和球體。

　【授課批注】

　本講在熟記體積和表面積公式的基礎上，要 鼓勵學生多思考，勤動手，多畫圖，注重“數形結合以此來培養學生的空間想象能力 。另外， 在數學競賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關鍵在于精巧的構思和恰當的設計，把形象思維和抽象思維結合起來。

　一、圓柱、圓錐、球體

　圓柱體：如右圖，圓柱體的底面是圓，其半徑為 r ；圓柱體的側面展開圖是一個長方形，長方形的寬相當于圓柱體的高，長相當于圓柱體的底面周長。

　圓柱體的表面積：

　S 圓柱 =側面積+2 個底面積=2πrh+2πr2 。

　圓柱體的體積：2V r h ? ?圓柱 圓錐體：如右圖，圓錐體的底面是圓，其半徑為 r ；圓錐體的側面展開圖是一個扇形。

　圓錐體的體積：213V r h ? ?圓錐體 r

　球體：343V r ? ?球體

　求圓柱體的表面積．一般的方法是先求出圓柱體的側面積，然后再加上圓柱的兩個底面積。求圓錐體的表面積需要先求出側面積（扇形），再求出底面積（圓），兩者相加即可。

　【重點難點解析】

　1 1 ．圓柱、圓錐和球體的表面積和體積計算。

　2 2 ．間接利用或逆用公式求解圓柱圓錐球體中的其它量。

　3 3 ．圓柱圓錐球體等立體圖形的組合圖形。

　【競賽考點挖掘】

　1 1 ．常見較復雜的組合圖形計算。

　2 2 ．靈活運用公式求解體積表面積外的其余量。

　【習題精講】

　【例 1 1 】（難度級別

　※）

　一個底面半徑的是５厘米．高是１５厘米的圓柱體，試求出它的表面積。

　【分析與解】

　 本題是較基礎題型。( ( １) ) 側面積：

　2x3.14x5x15=471( 平方米）；( ( ２）底面積：

　3.14x52=78.5（平方厘米）； (1) 表面積：

　471+78.5x2=628( 平方米）。

　 【例 2 2 】（難度級別

　※※）

　一段圓柱體木料，如果截成兩段，它的表面積增加 25.12 平方厘米；如果沿著直徑劈成兩個半圓柱體，它的表面積將增加 100 平方厘米。求圓柱體的表面積。

　【分析與解】

　一般解法：把圓柱體截成兩段，表面積增加的是兩個底面積；沿著直徑劈成兩個半圓柱體，表面積增加的是兩個長為“高”，寬為“直徑”的長方形。同學們大都會按照“半徑 — 高 —表面積” 思路來解答。具體解法如下：

　25.12 ÷2 2 ÷ 3.14 ＝4 4 （平方厘米）；4 4 ＝2 22 2

　 100 ÷2 2 ÷（2 2 ×2 2 ）＝ 12.5 （厘米）； 3.14 × 22 ×2 2 ＋2 2 × 3.14 ×2 2 × 12.5 ＝ 182.12 （平方厘米）

　的 巧妙解法：我們不妨換個角度去思考，沿著直徑把圓柱體劈成兩半增加的 0 100 平方厘米寫成算式是“直徑×高×2 2 ”，求圓柱體的側面積用“π×直徑×高”，所以用

　“ 100 ÷2 2 × 3.14 ”就可以求出圓柱體的側面積了，進而就能求出圓柱體的表面積，列式為：

　100 ÷2 2 × 3.14 ＋ 25.12 ＝ 157 ＋ 25.12 ＝ 182.12 （平方厘米）

　答：圓柱體的表面積為 2 182.12 平方厘米。

　【例 3 3 】（難度級別

　※※）

　一個圓柱體的體積是 50.24 立方厘米，底面半徑是 2 厘米。將它的底面平均分成若干個扇形后，再截開拼成一個和它等底等高的長方體，表面積增加了多少平方厘米? (π=3.14) 【分析與解】

　 根據圓柱體的體積公式推導過程，要求增加的表面積，實際上就是求拼成的長方體的兩個側面積之和，從拼成的長方體圖形來看：體積÷長= = 右側面積。50.24 ÷ (2 × 3.14) × 2=16( 平方厘米) ) ；

　【例 4 4 】（難度級別

　※※）

　已知圓柱體的高是 10 厘米，由底面圓心垂直切開，把圓柱分成相等的兩半，表面積增加了40 平方厘米，求圓柱體的體積．( 3 ? ? ) 【分析與解】

　 圓柱切開后表面積增加的是兩個長方形的矩形縱切面，長方形的長等于圓柱體的高為 0 10 厘米，寬為圓柱底面的直徑，設為 2r ，則 2 10 2 40, 1 r r ? ? ? ? ( ( 厘米) ) ．圓柱體積為：21 10 30 ? ? ? ? ( ( 立方厘米) ) ．

　 【例 5 5 】（難度級別

　※※）

　一個圓柱形容器內放有一個長方形鐵塊．現打開水龍頭往容器中灌水．3 分鐘時水面恰好沒過長方體的頂面．再過 18 分鐘水灌滿容器．已知容器的高為 50 厘米，長方體的高為 20 厘米，求長方體底面面積與容器底面面積之比． 【分析與解】

　 為 因為 8 18 分鐘水面升高：

　50 20 30 ? ? ( ( 厘米) )高 ．所以圓柱中沒有鐵塊的情形下水面升高 20厘米需要的時間是：2018 1230? ? （分鐘），實際上只用了 3 3 分鐘，說明容器底面沒被長方體底面蓋住的部分只占容器底面積的13124? ：

　，所以長方體底面面積與容器底面面積之比為 34 ：

?。?/p>

　【例 6 6 】（難度級別

　※※※）

　蘭州來的馬師傅擅長做拉面，拉出的面條很細很細，他每次做拉面的步驟是這樣的：將一個面團先搓成圓柱形面棍，長 1.6 米．然后對折，拉長到 1.6 米；再對折，拉長到 1.6 米……照此繼續進行下去，最后拉出的面條粗細(直徑)僅有原先面棍的164．問：最后馬師傅拉出的這些細面條的總長有多少米?(假設馬師傅拉面的過程中．面條始終保持為粗細均勻的圓柱形，而且沒有任何浪費) 【分析與解】

　 最后拉出的面條直徑是原先面棍的164，則截面積是原先面棍的2164，細面條的總長為：21.6 64 6553.6 ? ? ( ( 米) ) ．注意運用比例思想。

　 【例 7 7 】（難度級別

　※※※）

　一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如下圖所示），請你根據圖中標明的數據，計算瓶子的容積是_________。

　【分析與解】

　 由已知條件知，第二個圖上部空白部分的高為 7 7 － 5=2cm ，

　從而水與空著的部分的比為 4:2=2:1 ，由圖 1 1 知水的體積

　為 為 10 × 4=40 ，所以總的容積為 40 ÷2 2 ×（ 2+1 ）0 =60 立方厘米。

　 【例 8 8 】（難度級別

　※※※）

　輸液 100 毫升，每分鐘輸 2．5 毫升．如圖，請你觀察第 12 分鐘時圖中的數據，問：整個吊瓶的容積是多少毫升? 【分析與解】

　 0 100 毫升的吊瓶在正放時，液體在 0 100 毫升線下方，上方是空的，容積是多少不好算．但倒過來后，變成圓柱體，根據標示的格子就可以算出來．由于每分鐘輸 2 2 ．5 5 毫升，2 12 分鐘已輸液 2.5 12 30 ? ? ( ( 毫升) ) ，因此開始輸液時液面應與 0 50 毫升的格線平齊，上面空的部分是0 50 毫升的容積．所以整個吊瓶的容積是 100+50=150( 毫升) ) ．

　【例 9 9 】（難度級別

　※※※）

　一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是 80 平方厘米，水深 8 厘米?，F將一個底面積是 16平方厘米的長方體鐵塊豎放在水中后，仍有一部分鐵塊露在外面?，F在水深多少厘米? 【分析與解】

　根據等積變化原理：用水的體積除以水的底面積就是水的高度。

?。ǚ?1 1 ）：

　80 ×8 8 ÷0 (80 一 一 16) =640 ÷ 64=10( 厘米) ) ；

?。ǚ?2 2 ）：設水面上升了 x 厘米。根據上升部分的體積= = 浸人水中鐵塊的體積列方程為：

　80 16(8 ) x x ? ? ，解得：

　2 x ? ， 8+2=10( 厘米) ) 。

　【例 10 】（難度級別

　※※※）

　一個盛有水的圓柱形容器底面內半徑為 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米.今將一個底面半徑為 2 厘米，高為 18 厘米的鐵圓柱垂直放入容器中.求這時容器的水深是多少厘米. 【分析與解】

　本題可能出現三種情況：①放入鐵圓柱后，水深不及鐵圓柱高. . ②放入鐵圓柱后，水深比鐵圓柱高但未溢出. . ③水有溢出. . 放入鐵圓柱后，在鐵圓柱周圍，水的截面成圓環狀，如圖所

　示，截面積為 ? ×5 5 ×5 5 — ? ×2 2 × 2=21 ? . . 收入圓柱前后，水的體積不變，為 ? ×5 5 ×5 5 ×15=375 ? . .為 又因為 375 ? ÷ 21 ? = =7125=17 768 <18 厘米. .是 因此這時容器的水深是 1776厘米. .請同學們考慮水深不是 15 ，而是 6 16 厘米或 9 19 厘米的情況。

　【例 11 】（難度級別

　※※※）

　如右圖，是一個長方形鐵皮，利用圖中的陰影部分，剛好能做成一個油桶（接頭處忽略不計），求這個油桶的容積。（π取 3.14）

　【分析與解】

　圓的直徑為：

　16.56 ÷（ 1+ 3.14 ）

　=4 （m m為 ），而油桶的高為 2 2 個直徑長，即為：4 4 × 2=8 （m m ），故體積為 8 100.48 立方米。

　【例 12 】（難度級別

　※※）

　將一個底面半徑為 3 分米的圓柱體的底面平均分成若干個扇形，截開拼成一個和它等底等高的長方體后，表面積增加了 16 平方分米。求圓柱體的體積。（ 3.14 ? ? ）

　【分析與解】

　根據圓柱體的體積推導過程，增加的表面積實際上就是長方體左、右兩個面的面積。

?。ǚ?1 1 ）: : 16 2 (3.14 3) 75.36 ? ? ? ? （立方分米）；

?。ǚ?2 2 ）

　: 23.14 3 (16 2 3) 75.36 ? ? ? ? ? （立方分米）。

　 【例 13 】（難度級別

　※※※）

　如圖 1，一個直角三角形三條邊的長度是 3，4，5，如果分別以各邊為軸旋轉一周，得到三個立體．求三個立體中最大的體積和最小的體積的比． 【分析與解】

　以長為 3 3 的直角邊為軸旋轉得到的立體是一個圓錐，底面半徑是 4 4 ，由圓錐的體積公式得：2314 3 163V ? ? ? ? ? ?

　 為 以長為 4 4 是 的直角邊為軸旋轉得到的立體也是圓錐，底面半徑是 3 3 ，由圓錐的體積公式得：2413 4 123V ? ? ? ? ? ?

　 如圖 2 2 ，以長為 5 5 的斜邊為軸旋轉得到的立體是由兩個圓錐底面上下疊合

　在一起形成的紡錐體．設兩個圓錐的高為1 2, h h ，則有1 25 h h ? ? ，設底面的半徑是 r ，

　則由直角三角形面積公式得：1 15 3 42 2r ? ? ? ? ? ，所以125r ?

　 再 由 圓 錐 的 體 積 公 式 計 算 紡 錐 體 的 體 積 ， 應 當 是 ：2 2 25 1 2 1 21 1 1 48( )3 3 3 5V r h r h r h h ? ? ? ? ? ? ? ? ?

　 顯然，4816 125? ? ? ，所以最大的體積和最小的體積之比是53。

　【例 14 】（難度級別

　※※※）

　皮球掉進一個盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為 15 厘米，水桶底面直徑為 60 厘米。皮球有45的體積浸在水中（見右圖）。問皮球掉進水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？ 【分析與解】

　 皮球的體積是：3 34 4 15( ) 562.53 3 2r ? ? ? ? ? ? （立方厘米）；

　皮球浸在水中的部分是：4562.5 4505? ? ? ? （立方厘米）；

　水桶的底面積是：260( ) 9002? ? ? ? （平方厘米）；

　水面升高的高度是：

　450 900 0.5 ? ? ? ? （厘米）。

　【例 15 】（難度級別

　※※※）

　有一只底面半徑是 20 厘米的圓柱形水桶，里面有一段半徑是 5 厘米的圓柱體鋼材浸在水中。鋼材從水桶里取出后，桶里的水下降了 6 厘米。這段鋼材有多長?

　【分析與解】

　根據題意可知，圓柱形鋼材的體積等于桶里下降部分水的體積，因為鋼材底面半徑是水桶底面半徑的520，即41，鋼材底面積就是水桶底面積的161。根據體積一定，圓柱體的底面積與高成反比例可知，鋼材的長是水面下降高度的 6 16 倍。

?。ǚ?1 1 ）：6 6 ÷( (520) )2=96( 厘米) ) ，（法 2 2 ）：

　3.14 × 202×6 6 ÷ (3.14 ×5 52)=96( 厘米) ) 。

　 【例 16 】（難度級別

　※※※）

　如圖，有一張長方體鐵皮，剪下圖中兩個圓及一塊長方形，正好可以做成 1 個圓柱體，這個圓柱體的底面半徑為 10 厘米，那么原來長方形鐵皮的面積是多少平方厘米？（ 3.14 ? ? ）

　【分析與解】

　剪 下 的 長 方 形 的 長 ， 即 圓 柱 體 底 面 圓 的 周 長 為 ：10 2 62.8 ? ? ? ? ( ( 厘米) ) ，

　原來的長方形的面積為：

　10 4 62.8 10 2 2056 ? ? ? ? ? （ ）（ ）

　( ( 平方厘米) ) ．

　【例 17 】（難度級別

　※※※）

　如右圖所示，圓錐形容器中裝有 3 升水，水面高度正好是圓錐高度的一半，這個容器還能裝多少水？ 【分析與解】

　1 21 升。設圓錐容器的底面半徑為 r r ，則水面半徑為 r/2 。容器的容積為 1/3 π2 2 h h ，水的體積為：2 21 1( )3 2 2 24r hh ? ? ? ?

　 上式說明容器可以裝 8 8 份 3 3 升水，故還能裝水 3 3 ×（8 8 －1 1 ）＝1 21 （升）。

　【例 18 】（難度級別

　※※※※）

　如圖，ABCD 是矩形，BC=6cm，AB=10cm，對角線 AC，BD 相交 0．圖中的陰影部分以 CD 為軸旋轉一周，則陰影部分掃出的立體的體積是多少立方厘米? 【分析與解】

　設三角形 O BCO 以 以 D CD 為軸旋轉一周所得到的立體的體積是 是 V V ，V V 等于高為 0 10 厘米，底面半徑是 6 6 厘米的圓錐的體積減去 2 2 個高為 5 5 厘米，底面半徑是 3 3 厘米的圓錐的體積．

　即：2 21 16 10 2 3 5 903 3V ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ( 立方厘米) ) ， 2 180 540 V ? ? ? ( ( 立方厘米) )． ．

　【例 19 】（難度級別

　※※※※）

　如圖，在一個正方體的兩對側面的中心各打通一個長方體的洞，在上下底面的中心打通一個圓柱形的洞．已知正方體邊長為 10 厘米，側面上的洞口是邊長為 4 厘米的正方形，上下側面的洞口是直徑為 4 厘米的圓，求此立體圖形的表面積和體積． 【分析與解】

　外側表面積為：6 6 × 10 × 10- -4 4 ×4 4 ×4 4- - π×2 22 2 ×2=536- -8 8 π．

　內側表面積為：

　16 ×4 4 × 3+2 × (4 ×4 4- - π×2 22 2 )+2 ×2 2π×2 2 × 3=192+32- -8 8 π +24 π =224+16 π．

　總表面積 =224+16 π +536- -8 8 π =760+8 π =785.12( 平方厘米) ) ．

　計算體積時將挖空部分的立體圖形取出，如圖，只要求出這個幾何體的體積即可．

　挖出的幾何體體積為：4 4 ×4 4 ×4 4 × 3+4 ×4 4 × 4+2 ×π×2 22 2 × 3=192+64+24 π =256+24 π．

　所求幾何體體積為：

　10 × 10 × 10- -

　(256+24 π )=668.64( 立方厘米) ) ．

　[ [ 點評 ] 能把這道題拿下，所有不規則形體的表面積和體積計算都將不在話下。一定要注意：思路要清晰，比如表面積從外面和內部去討論，體積直接是整體減挖去部分。細節決定成?。旱谝稽c，求表面積時，內部中心的正方形減去內切圓剩下部分容易忽略；第二點，本題大正方體的棱長是 10 厘米，是一個很傷腦筋的數字，直接導致出現了多處的3 3 。

　 【例 20 】（難度級別

　※※※）

　右圖是一個零件的直觀圖。下部是一個棱長為 40cm 的正方體，上部是圓柱體的一半。求這個零件的表面積和體積。

　【分析與解】

　這是一個半圓柱體與長方體的組合圖形，通過分割平移法 可求得表面積和體積分別為：

　11768cm2 2 ， 89120cm3 3 。

　 【作業】

　1.

　有一塊棱長分別為 6dm ， 8dm ，m 10dm 的長方體木塊，把它切割成體積盡可能大的圓錐體木塊。求這個圓錐體木塊的體積。

　【答案】

　100.48dm3 3 。

　2. 用直徑為

　m 20cm 的圓鋼，鍛造長 300cm 、寬

　100cm ，厚 m 5cm 的長方形鋼板，應截取圓鋼多長？（精確到 1cm ）

　【答案】

　478cm 。

　3. 用鐵皮做一個如下頁上圖（單位：

　cm ）所示的工件，需用鐵皮多少平方厘米？

　【答案】

　2355cm2 2 。

　4. 是 有一種飲料瓶的瓶身如右圖所示，容積是 30dm3 3 ?，F在它里面裝有一些飲料，正放時飲料高度為 20cm ，倒放時空余部分的高度為 5cm 。

　問：瓶內現有飲料多少立方分米？

　【答案】

　24dm3 3 。

　 5. 有一個圓柱體的零件，高 0 10 厘米，底面直徑是 6 6 厘米，零件的一端有一個圓柱形的直孔，如下圖，圓孔的直徑是 4 4 厘米，孔深 5 5 厘米。求該零件的實體體積？

　【答案】

　879.2 。

　挑戰自己

?。y度等級

　※※※）

　 有甲乙兩只圓柱形玻璃杯，其內徑依次是 0 10 厘米、0 20 厘米，杯中盛有適量的水，甲杯中沉了 沒有一鐵塊，當取出此鐵塊后，甲杯中的水位下降了 2 2 厘米，然后將鐵塊沉沒于乙杯，且乙杯中的水未外溢，問這時乙杯中的水位上升了多少厘米？

　【答案】5 0.5 厘米 。